☰ Содержание · Геометрия

Применения теорем; скалярное произведение

Уроки 30–31 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
30

Некоторые применения теорем синусов и косинусов

Учебник: с. 88–89
ЦельПрименения теорем косинусов и синусов: определение вида треугольника без нахождения углов, формула Герона и R = abc/(4S).
Новые слова
остроугольный · o‘tkir burchakliтупоугольный · o‘tmas burchakliформула Герона · Geron formulasiполупериметр · yarim perimetr
Объяснение

Пусть a — наибольшая сторона. Если b² + c² > a², косинус положителен и треугольник остроугольный; если b² + c² = a², он прямоугольный; если b² + c² < a², он тупоугольный. Прямой или тупой угол всегда лежит против наибольшей стороны. Из S = ½bc·sinA и теоремы синусов sinA = a/(2R) получаем S = abc/(4R), то есть R = abc/(4S). Когда даны три стороны, площадь находится по формуле Герона: при полупериметре p = (a + b + c)/2 имеем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Таким образом, по трём сторонам можно найти площадь, а затем радиус описанной окружности, не находя ни одного угла.

Примеры
Стороны 6, 7, 9: 6² + 7² = 85 > 81 = 9², поэтому треугольник остроугольный. Стороны 5, 6, 9: 25 + 36 = 61 < 81, поэтому он тупоугольный.
7, 15, 20: p = 21, S = √(21·14·6·1) = √1764 = 42; R = 7·15·20/(4·42) = 2100/168 = 25/2.
Работа в классе

«Быстрая проверка вида»: на карточках записаны три числа; ученики сравнивают только квадраты (без углов), чтобы определить вид треугольника, и показывают результат.

Упражнения
1
Каков вид треугольника со сторонами 8, 15, 17?
2
Чему равен радиус описанной окружности треугольника со сторонами 3, 4, 5?
3
Чему равен полупериметр p треугольника со сторонами 9, 10, 17?
4
Почему тупой угол треугольника всегда лежит против наибольшей стороны?