Уроки 17 · 1 урок · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
17
Центральная симметрия и поворот
Учебник: с. 52–57
ЦельЗнайте центральную симметрию и поворот, находите координаты точки, симметричной относительно центра, и распознавайте центрально-симметричные фигуры.
Точки A и A₁ симметричны относительно O, если O — середина отрезка AA₁. Преобразование, при котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно O, называется центральной симметрией; это движение. Относительно начала координат точка A(x; y) переходит в A₁(−x; −y), а в общем случае для центра O(a; b) — в A₁(2a − x; 2b − y). Фигура, которая отображается сама на себя относительно O, называется центрально-симметричной: центрально-симметричны параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и круг; треугольник и трапеция не являются таковыми. При повороте вокруг O на угол φ имеем OA = OA₁ и ∠AOA₁ = φ; поворот — это движение, а поворот на 180° является центральной симметрией.
Примеры
Относительно центра O(3; 1) точка A(5; 4) переходит в точку с координатами x₁ = 2·3 − 5 = 1, y₁ = 2·1 − 4 = −2, то есть A₁(1; −2).
Параллелограмм центрально-симметричен относительно точки пересечения O его диагоналей: A переходит в C, а B — в D, так как O — середина диагоналей.
Работа в классе
«Бумажная вертушка»: поверните букву на 180° вокруг её центра и найдите, какие буквы остаются неизменными (например, H, N, O, S, X, Z).
Упражнения
1
Чему равна абсцисса точки, симметричной точке M(−6; 2) относительно начала координат?
6
2
Найдите точку, симметричную точке A(4; 5) относительно центра O(1; 2).
(−2; −1)
3
Что не является центрально-симметричной фигурой: квадрат, трапеция, параллелограмм, круг?
Трапеция
4
Почему поворот на 180° — то же самое, что центральная симметрия?
При 180° точки A, O и A₁ лежат на одной прямой, причём OA = OA₁, поэтому O — середина отрезка AA₁.