31
Угол между двумя векторами и их скалярное произведение
Учебник: с. 90–93
ЦельЗнайте угол между двумя векторами и скалярное произведение; вычисляйте скалярное произведение, длину вектора и косинус угла в координатах.
Новые слова
скалярное произведение · skalar ko‘paytmaугол между векторами · vektorlar orasidagi burchakперпендикулярные векторы · perpendikulyar vektorlarдлина (модуль) вектора · vektor uzunligi
Объяснение
Если ненулевые векторы a и b отложены от одной точки, образованный ими угол называется углом между ними, φ. Их скалярное произведение равно a·b = |a|·|b|·cosφ — это число, а не вектор. Если a·b = 0, то векторы перпендикулярны, так как cos90° = 0. В координатах для a(a₁; a₂) и b(b₁; b₂): a·b = a₁b₁ + a₂b₂, |a| = √(a₁² + a₂²), и cosφ = (a₁b₁ + a₂b₂)/(|a|·|b|). Свойства: a·b = b·a; (a + b)·c = a·c + b·c; a·a = |a|². В физике работа силы F при перемещении тела на вектор s равна A = F·s = |F|·|s|·cosφ.
Примеры
Для a(3; 4) и b(4; −3): a·b = 3·4 + 4·(−3) = 0, поэтому a ⊥ b.
a(2; 0), b(1; 1): a·b = 2, |a| = 2, |b| = √2, cosφ = 2/(2√2) = √2/2, поэтому φ = 45°.
Работа в классе
«Перпендикулярны ли?»: на доске записаны пары векторов; ученики вычисляют скалярное произведение, находят перпендикулярную пару и проверяют на координатной плоскости.
Упражнения
1
|a| = 6, |b| = 7, а угол между ними 60°. Чему равно a·b?
21
2
a(−1; 3) и b(2; 5). Чему равно a·b?
13
3
При каких x векторы a(2; x) и b(3; 6) перпендикулярны?
-1
4
Почему a·a = |a|²?
Вектор образует с самим собой угол 0°, а cos0° = 1, поэтому a·a = |a|·|a|·1.