Окружности, вписанная в правильный многоугольник и описанная около него
У каждого правильного многоугольника есть и вписанная, и описанная окружность. Точка O, в которой пересекаются биссектрисы двух соседних углов, равноудалена от всех вершин (центр описанной окружности) и от всех сторон (центр вписанной окружности). Значит, обе окружности имеют один общий центр, называемый центром многоугольника. Перпендикуляр из центра к стороне называется апофемой многоугольника и равен радиусу вписанной окружности r. Правильный n-угольник со стороной a имеет площадь S = ½·n·a·r, так как он разбивается на n равных треугольников с основанием a и высотой r. Радиусы связаны соотношением R² = r² + (a/2)².
«Шестиугольник с помощью циркуля»: начертите окружность и, не меняя раствор циркуля, отложите его шесть раз по окружности; соедините точки и получите правильный шестиугольник, отметьте центр и апофему и проверьте измерением, что R = a.