Пропорциональные отрезки в окружности

Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке O, то AO·OB = CO·OD. Доказательство: углы BAD и BCD опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны; углы AOD и COB вертикальные, поэтому треугольники AOD и COB подобны по двум углам, откуда OD : OB = AO : CO. Если из точки P вне окружности проведены касательная PA (A — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках B и C, то PA² = PB·PC, так как треугольники PAB и PCA подобны. Аналогично для двух секущих из P: PA·PB = PC·PD. Эти равенства позволяют найти неизвестный отрезок по произведению. В частности, для хорды, проведённой через внутреннюю точку на расстоянии d от центра (примените теорему к диаметру через эту точку), AP·PB = (R − d)(R + d) = R² − d², а для внешней точки PA·PB = d² − R².