Уроки 26–27 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
26
Решение задач
Учебник: с. 78–81
ЦельРешайте задачи о прямоугольных треугольниках, ромбах, трапециях и хордах окружности с помощью тригонометрических соотношений.
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и острым углом α противолежащий катет равен a = c·sinα, прилежащий катет равен b = c·cosα, и a = b·tgα. Эти соотношения позволяют решать задачи о ромбах, трапециях или дорогах с заданным углом подъёма: например, высота ромба равна h = a·sinα (a — сторона, α — угол). В окружности радиуса R хорда, стягивающая дугу θ, равна 2R·sin(θ/2), так как перпендикуляр из центра делит пополам и хорду, и центральный угол. При решении сделайте чертёж, выделите прямоугольный треугольник и выберите, какое отношение (sin, cos, tg) связывает данные и искомые отрезки.
Примеры
У ромба сторона 8 см, а острый угол 30°. Его высота равна h = 8·sin30° = 4 см, а площадь 8·4 = 32 см².
У равнобедренного прямоугольного треугольника гипотенуза равна 10 см: каждый катет равен 10·sin45° = 5√2 см, а площадь равна ½·(5√2)² = 25 см².
Работа в классе
«Уклон дороги»: если воображаемая дорога поднимается под углом 30° к горизонту, вычислите, на сколько метров она поднимается на каждые 100 м пути, и покажите это на рисунке.
Упражнения
1
Дорога поднимается под углом 30° к горизонту. На сколько метров она поднимется после 200 м пути вдоль дороги?
100
2
Высота равностороннего треугольника равна 5√3 см. Чему равен его периметр (в см)?
30
3
В окружности радиуса 8 см чему равна длина хорды, стягивающей дугу 120°?
8√3 см
4
Почему высота ромба равна h = a·sinα?
Высота и сторона образуют прямоугольный треугольник, в котором h — катет, противолежащий углу α, поэтому h = a·sinα.