☰ Содержание · Геометрия

Проекции отрезков

Уроки 48 · 1 урок · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
48

Проекции отрезков и пропорциональность

Учебник: с. 130–131
ЦельЗнайте понятие проекции (тени) отрезка на прямую; используйте то, что проекции отрезков на параллельные прямые пропорциональны этим отрезкам.
Новые слова
проекция отрезка · kesma proyeksiyasiопускание перпендикуляра · perpendikulyar tushirishпропорциональные отрезки · proporsional kesmalarA₁B₁ = AB·cosα · A₁B₁ = AB·cosα
Объяснение

Пусть даны отрезок AB и прямая m. Если из A и B опустить на m перпендикуляры AA₁ и BB₁, то отрезок A₁B₁ называется проекцией (тенью) отрезка AB на m. Если угол между AB и m равен α, то проекция имеет длину A₁B₁ = AB·cosα; если AB параллелен m, то проекция равна AB, а если перпендикулярен, то проекция превращается в точку. Проекции на m отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, пропорциональны самим отрезкам: A₁B₁ : AB = C₁D₁ : CD, так как они образуют с m один и тот же угол. Поэтому, если известна проекция одного отрезка, мы находим другую по пропорции.

Примеры
AB = 20 и CD = 30 лежат на параллельных прямых, а проекция AB равна 12. Проекция CD равна x: x/30 = 12/20, поэтому x = 18.
Концы AB удалены от m на 5 и 11 (по одну сторону), а AB = 10: разность равна 6, поэтому проекция равна √(100 − 36) = 8.
Работа в классе

«Измерь тень»: в солнечный день поставьте палку вертикально и измерьте её тень (никогда не смотрите прямо на солнце!). Проверьте, что тени пропорциональны высотам для здания и палки.

Упражнения
1
Отрезок длиной 14 см образует с m угол 60°. Чему равна его проекция?
2
Отрезки AB = 14 и CD = 21 лежат на параллельных прямых; проекция AB равна 10. Чему равна проекция CD?
3
Отрезок длиной 12 см имеет на прямой m проекцию 6 см. Какой угол образует отрезок с m?
4
Почему проекция отрезка, перпендикулярного m, — точка?