Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Уроки 50–51 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
50
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Учебник: с. 134–135
ЦельЗнайте, что высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на подобные треугольники; знайте среднее пропорциональное отрезков и формулы h² = a_c·b_c и a² = c·a_c.
В прямоугольном треугольнике ABC, если из вершины прямого угла опустить высоту CD на гипотенузу, то треугольники ABC, ACD и CBD подобны друг другу, так как в каждой паре два угла равны. Для отрезков a, b, c, если a : b = b : c, то b — среднее пропорциональное между a и c, то есть b² = ac. Из подобия следует: высота h — среднее пропорциональное между проекциями a_c и b_c катетов на гипотенузу, поэтому h² = a_c·b_c. Каждый катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и его собственной проекцией: a² = c·a_c и b² = c·b_c. Сложив их, получаем a² + b² = c·(a_c + b_c) = c², то есть теорему Пифагора.
Примеры
Катеты 65 и 156: c = 169; проекция катета 65 равна 65²/169 = 25, а другая 144; h = √(25·144) = 60 (проверка: 65·156/169 = 60).
Проекции 4 и 9: h = √36 = 6, c = 13, катеты √(13·4) = 2√13 и √(13·9) = 3√13, площадь = ½·13·6 = 39.
Работа в классе
«Бумажный треугольник»: нарисуйте на бумаге прямоугольный треугольник, проведите высоту и с помощью взрослого, работающего с ножницами, разрежьте его на три треугольника; наложите их друг на друга, чтобы проверить, что они подобны.
Упражнения
1
Проекции катетов на гипотенузу равны 2 и 8. Чему равна высота?
4
2
Гипотенуза равна 25, а проекция одного катета равна 9. Чему равен этот катет?
15
3
Катеты равны 6 и 8. Чему равна проекция катета 6 на гипотенузу?
3,6
4
Почему высота делит треугольник на треугольники, подобные ему?
Каждый маленький треугольник имеет общий острый угол с большим и прямой угол, как и большой.