☰ Содержание · Геометрия

Теорема синусов

Уроки 28 · 1 урок · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
28

Теорема синусов

Учебник: с. 84–85
ЦельЗнайте теорему синусов и используйте её для нахождения стороны или угла и радиуса описанной окружности.
Новые слова
теорема синусов · sinuslar teoremasiописанная окружность · tashqi chizilgan aylanaпротиволежащий угол · qarshisidagi burchakсоответствующее отношение · mos nisbat
Объяснение

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Она следует из приравнивания трёх выражений площади: S = ½ab·sinC = ½bc·sinA = ½ac·sinB. Это общее отношение равно диаметру описанной окружности: a/sinA = 2R. С её помощью мы находим остальные стороны, когда даны два угла и сторона, и синус другого угла, когда даны две стороны и угол, противолежащий одной из них. Обратите внимание: уравнение sinB = x может иметь два решения между 0° и 180° (B и 180° − B), поэтому нужно проверять существование треугольника.

Примеры
△ABC: ∠A = 30°, ∠B = 45°, a = BC = 8. b = a·sinB/sinA = 8·(√2/2)/(1/2) = 8√2.
a = 10, ∠A = 30°: 2R = a/sinA = 10/(1/2) = 20, поэтому R = 10.
Работа в классе

«Противолежащий угол»: учитель рисует треугольник и задаёт две стороны и некоторые из противолежащих углов; пары с помощью теоремы синусов находят недостающие.

Упражнения
1
a = 6, ∠A = 30°, ∠B = 90°. Найдите b.
2
∠A = 45°, ∠B = 30°, a = 10√2. Найдите b.
3
a = 9 и ∠A = 60°. Чему равен радиус описанной окружности?
4
Почему при a = 5, ∠A = 30° и b = 5√3 может существовать два треугольника?