29
Теорема косинусов
Учебник: с. 86–87
ЦельЗнайте теорему косинусов, используйте её для нахождения третьей стороны и косинуса угла и понимайте, что она обобщает теорему Пифагора.
Новые слова
теорема косинусов · kosinuslar teoremasiобобщение · umumlashmaквадрат стороны · tomon kvadratiкосинус угла · burchak kosinusi
Объяснение
Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: a² = b² + c² − 2bc·cosA. Доказательство опускает высоту и дважды использует теорему Пифагора. Если ∠A = 90°, то cos90° = 0 и теорема превращается в теорему Пифагора. Для тупого угла cosA отрицателен, поэтому a² больше. Когда известны стороны, угол находится из cosA = (b² + c² − a²)/(2bc). Теорема применима, когда даны две стороны и угол между ними или три стороны.
Примеры
b = 9, c = 4, ∠A = 60°: a² = 81 + 16 − 2·9·4·½ = 97 − 36 = 61, поэтому a = √61.
Стороны 4, 7, 9. Угол, противолежащий стороне 9: cos = (16 + 49 − 81)/(2·4·7) = −16/56 = −2/7 < 0, значит, этот угол тупой.
Работа в классе
«Найди сторону»: каждая пара выбирает две стороны и угол между ними (60°, 90°, 120°) и вычисляет квадрат третьей стороны; при 90° сравнивают с теоремой Пифагора.
Упражнения
1
b = 3, c = 5, ∠A = 120°. Чему равно a²?
49
2
b = 4, c = 4, ∠A = 90°. Чему равно a²?
32
3
В треугольнике со сторонами 4, 5, 6 чему равен косинус угла, противолежащего стороне 6?
1/8
4
Почему квадрат стороны, лежащей против тупого угла, больше суммы квадратов двух других сторон?
cosA < 0, поэтому слагаемое −2bc·cosA положительно.