Уроки 32–33 · 2 урока · Б. Хайдаров, Э. Сариков, А. Кучкоров. Геометрия, 9 класс (учебник для общеобразовательных школ), переработанное 4-е издание. Издательство «Huquq va Jamiyat», Ташкент, 2019
32
Решение треугольников
Учебник: с. 94–95
ЦельРешение треугольников: находите остальные стороны и углы по данным элементам с помощью теорем синусов и косинусов.
Новые слова
решение треугольника · uchburchakni yechishэлементы треугольника · uchburchak elementlariприлежащие углы · yopishgan burchaklarтретья сторона · uchinchi tomon
Объяснение
Стороны и углы треугольника называются его элементами. Нахождение остальных элементов по данным называется решением треугольника. Есть три основных случая. 1) Одна сторона и два прилежащих угла: дополните третий угол до 180° и найдите остальные стороны по теореме синусов. 2) Две стороны и угол между ними: найдите третью сторону по теореме косинусов, а затем остальные углы по теореме косинусов или синусов. 3) Три стороны: найдите углы по теореме косинусов, начиная с наибольшего угла, так как он может быть тупым. Значения неособых углов находят приближённо с помощью калькулятора или таблицы.
Примеры
a = 6√3, β = 30°, γ = 30°: α = 180° − 60° = 120°; b = a·sinβ/sinα = 6√3·(1/2)/(√3/2) = 6, c = 6.
a = 5, b = 8, γ = 60°: c² = 25 + 64 − 2·5·8·½ = 49, поэтому c = 7. cosα = (64 + 49 − 25)/(2·8·7) = 11/14, α ≈ 38° и β = 180° − 60° − 38° ≈ 82°.
Работа в классе
«Мастерская треугольников»: каждая группа выбирает один из трёх случаев, придумывает свою задачу и решает её; другая группа проверяет решение, работая в обратном порядке.
Упражнения
1
a = 12, β = 30°, γ = 60°. Найдите α и b.
α = 90°, b = 6
2
a = 3, b = 8, γ = 60°. Чему равно c²?
49
3
Чему равен наибольший угол (в градусах) треугольника со сторонами 7, 8, 13?
120
4
Почему при решении по трём сторонам удобно сначала найти наибольший угол?
Знак его косинуса показывает, тупой ли он; тогда два других угла наверняка острые.