Логика планиметрии и методы решения задач

«Геометрия» по-гречески означает «землемерие»; планиметрия изучает фигуры на плоскости, а стереометрия — фигуры в пространстве. Геометрия строится аксиоматически: сначала основные фигуры, такие как точка и прямая, принимаются без определения, затем их основные свойства — аксиомы — принимаются без доказательства, а все остальные фигуры определяются, и их свойства доказываются как теоремы. Аксиомы планиметрии делятся на пять групп: принадлежности, порядка, измерения, откладывания равных фигур и аксиома параллельности. У теоремы есть условие (то, что дано) и заключение (то, что нужно доказать); в доказательстве можно использовать только аксиомы и ранее доказанные теоремы, даже «очевидный», но недоказанный факт использовать нельзя. Евклид (около начала III века до н. э.) изложил геометрию в своих «Началах» в 13 книгах с пятью постулатами; пятый постулат (о параллельных прямых) казался более сложным, чем остальные, поэтому на протяжении веков его пытались доказать, в том числе Омар Хайям. Н. И. Лобачевский (1792–1856) показал, что он не зависит от остальных аксиом, и создал неевклидову геометрию (в которой сумма углов треугольника меньше 180°); в этом участвовали также Я. Бойяи и К. Гаусс.