Иррациональные неравенства

Неравенство с неизвестным под знаком корня называется иррациональным неравенством. Так как множество решений бесконечно, ответ нельзя проверить подстановкой, поэтому каждое преобразование должно быть равносильным. Возведение обеих частей в чётную степень даёт равносильное неравенство только тогда, когда обе части неотрицательны. Правила: √A < B ⇔ {A < B², A ≥ 0, B ≥ 0}; √A > B ⇔ либо {B < 0, A ≥ 0}, либо {B ≥ 0, A > B²} (объединение двух случаев); √A > √B ⇔ {B ≥ 0, A > B}. Также √A ≤ B ⇔ {A ≥ 0, B ≥ 0, A ≤ B²}. Первое условие получается из возведения в квадрат, второе — из существования корня, третье — из права возводить в квадрат (B ≥ 0). Если B < 0, то √A < B не имеет решений, а √A > B выполняется при всех x, для которых A ≥ 0.