☰ Содержание · Математика

Задачи на поверхность

Уроки 21 · 1 урок · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
21

Практика и применения: многогранники и тела вращения

Учебник, часть 1: с. 119–125
ЦельРешать задачи о поверхностях прямых призм, правильных пирамид, цилиндров и конусов, используя связи между высотой, апофемой и образующей.
Новые слова
боковая поверхность · yon sirtполная поверхность · to‘la sirtапофема · apofemaобразующая · yasovchi
Объяснение

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, поэтому её боковая поверхность равна периметру основания, умноженному на боковое ребро: S_бок = P · h; полная поверхность S_полн = S_бок + 2S_осн. В правильной пирамиде высота h падает в центр O основания; расстояние от O до вершины основания — радиус описанной окружности R, а расстояние от O до середины стороны основания — радиус вписанной окружности r. Боковое ребро равно √(h² + R²), а апофема равна √(h² + r²) (каждое из них — гипотенуза прямоугольного треугольника). Боковая поверхность равна S_бок = p · a (p — полупериметр основания), а полная поверхность добавляет площадь основания. Для квадрата r = a/2, R = a√2/2; для правильного треугольника r = a√3/6, R = a√3/3; для правильного шестиугольника R = a, r = a√3/2. Боковая поверхность цилиндра равна длине окружности основания, умноженной на образующую; для конуса l = √(h² + r²) и S_бок = πrl. Если образующая составляет с основанием угол α, то r = l cos α.

Примеры
Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 10 см, высота 12 см. r = 5 см, апофема = √(12² + 5²) = 13 см. Боковая поверхность = p · a = 20 · 13 = 260 см² (p = 40/2 = 20), полная поверхность = 260 + 100 = 360 см².
Прямая призма: основание — равнобедренная трапеция с основаниями 4 см и 10 см и боковыми сторонами 5 см; боковое ребро 6 см. Высота трапеции √(5² − 3²) = 4 см, а её периметр 4 + 10 + 5 + 5 = 24 см. Боковая поверхность 24 · 6 = 144 см², площадь основания (4 + 10)/2 · 4 = 28 см², полная поверхность 144 + 2 · 28 = 200 см².
Работа в классе

Группы измеряют пустую коробку (например, картонную), вычисляют её полную поверхность, а затем разворачивают её (с ножницами помогает взрослый) и сравнивают с измеренной площадью развёртки.

Упражнения
1
По какой формуле находится боковая поверхность прямой призмы?
2
В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 6, 8, 10 см, а боковое ребро равно 5 см. Чему равна полная поверхность в см²?
3
У правильной четырёхугольной пирамиды сторона основания 16 см, а высота 15 см. Чему равна её боковая поверхность в см²? (апофема 17 см)
4
Почему апофема равна √(h² + r²), а боковое ребро — √(h² + R²)?