☰ Содержание · Математика

Правильные рассуждения и решение задач

Уроки 6–7 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
6

Законы правильного рассуждения; софизмы и парадоксы

Учебник, часть 1: с. 33–38
ЦельЗаписывать логическую форму рассуждения и проверять его правильность с помощью тавтологии; отличать софизм от парадокса.
Новые слова
посылка · asosзаключение · xulosaсофизм · sofizmпарадокс · paradoks
Объяснение

Каждое рассуждение состоит из нескольких высказываний — посылок — и заключения, которое из них делается и вводится словом «следовательно». Если посылки обозначить S, а заключение R, то рассуждение имеет вид S ⇒ R и является правильным, если это выражение — тавтология. Четыре основные правильные формы: ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q; ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p; ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q; ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r). Но ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p не является тавтологией (оно ложно при ложном p и истинном q), поэтому такой вывод неверен. Софизм — это ложное «доказательство», ошибка в котором искусно скрыта (часто это скрытое деление на нуль). Парадокс — неожиданное утверждение, противоречащее общепринятому мнению; например, «Это предложение ложно» приводит к противоречию, назовём ли мы его истинным или ложным.

Примеры
«Если число оканчивается на 0, оно делится на 10. Число 340 оканчивается на 0. Следовательно, 340 делится на 10». Форма ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q — правильный вывод.
«Если идёт дождь, земля мокрая. Земля мокрая. Значит, шёл дождь». Форма ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p неверна: при ложном p и истинном q (землю полили) посылки истинны, а заключение ложно. Софизм: пусть a = b; тогда a² = ab, a² − b² = ab − b², (a − b)(a + b) = b(a − b). Сокращая на (a − b), получаем a + b = b, то есть 2b = b, 2 = 1; ошибка — деление на a − b = 0.
Работа в классе

Конкурс «Найди ошибку»: каждая группа получает простой софизм, подготовленный учителем (например, «доказательство» 2 = 1); группа находит шаг с делением на нуль или неверным выводом и обосновывает это.

Упражнения
1
Запишите форму рассуждения по контрапозиции (modus tollens).
2
«Карим либо в школе, либо в библиотеке. Он не в школе. Значит, он в библиотеке». Верен ли вывод? Назовите форму.
3
В софизме при a = b = 4 чему равно a − b? Почему из-за этого нельзя сокращать?
4
Почему ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p не является тавтологией?