Уроки 12 · 1 урок · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
12
Простейшие показательные уравнения и системы
Учебник, часть 1: с. 69–73
ЦельРешать показательные уравнения приведением к одному основанию, введением новой переменной и вынесением общего множителя; решать простые системы показательных уравнений.
Новые слова
показательное уравнение · ko‘rsatkichli tenglamaоснование степени · daraja asosiпоказатель степени · daraja ko‘rsatkichiновая переменная · yangi o‘zgaruvchi
Объяснение
Уравнение с неизвестным в показателе степени называется показательным уравнением. Главное свойство: если a > 0 и a ≠ 1, то a^f(x) = a^g(x) равносильно f(x) = g(x). Первый способ приводит обе части к одному основанию с помощью aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Во втором способе замена t = aˣ (t > 0) приводит к квадратному или другому алгебраическому уравнению; так как aˣ всегда положительно, корни с t ≤ 0 отбрасываются. Третий способ — вынести общий множитель за скобки или разделить уравнение на одну из степеней. В системе показательных уравнений сначала составляют линейную систему для показателей или вводят новые переменные, например u = aˣ, v = bʸ.
9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0. Так как 9ˣ = (3ˣ)², положим t = 3ˣ > 0: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3. 3ˣ = 1 ⇒ x = 0; 3ˣ = 3 ⇒ x = 1. Ответ: x = 0 и x = 1.
Работа в классе
Конкурс «Найди основание»: учитель называет числа, например 16, 32, 64, 1/8, 0,25; группы как можно быстрее записывают их все в виде степеней числа 2 (2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁻³, 2⁻²). Затем из этих чисел составляются показательные уравнения.
Упражнения
1
При a > 0, a ≠ 1 какому уравнению равносильно a^f(x) = a^g(x)?
f(x) = g(x)
2
Решите 2^(x+3) = 32: x = ?
2
3
Решите 3^(2x) − 10 · 3ˣ + 9 = 0.
t = 3ˣ > 0: t² − 10t + 9 = 0, t = 1 или 9 ⇒ x = 0 или x = 2.
4
В уравнении 4ˣ + 3 · 2ˣ − 4 = 0 при t = 2ˣ получаем t² + 3t − 4 = 0. Почему мы отбрасываем t = −4? Найдите x.
2ˣ положительно при любом x, поэтому t = −4 невозможно. t = 1 ⇒ 2ˣ = 1 ⇒ x = 0.