Уроки 22–23 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
22
Прямые и плоскости в пространстве
Учебник, часть 1: с. 126–130
ЦельЗнать возможные положения прямых и плоскостей в пространстве, аксиомы стереометрии и способы задания плоскости.
Две прямые в пространстве могут располагаться тремя способами: пересекаться (одна общая точка), быть параллельными (лежать в одной плоскости и не иметь общих точек) или скрещиваться (не лежать ни в какой одной плоскости). Прямая и плоскость тоже имеют три положения: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или не имеет с ней общих точек (параллельна). Две плоскости либо пересекаются по общей прямой, либо не имеют общих точек и параллельны. Три утверждения принимаются без доказательства: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; если у двух плоскостей есть общая точка, то у них есть и общая прямая, проходящая через эту точку. Отсюда следуют способы задания плоскости: тремя точками, прямой и точкой вне её, двумя пересекающимися прямыми (подойдут и две параллельные прямые). Через две скрещивающиеся прямые нельзя провести общую плоскость.
Примеры
Прямые, содержащие рёбра AB и CC₁ куба: они не лежат в одной плоскости и не пересекаются, поэтому скрещиваются. Рёбра AB и A₁B₁ лежат в одной грани и не пересекаются, поэтому параллельны.
Четырёхногий стол иногда шатается, а трёхногий — никогда: концы ножек — три точки, не лежащие на одной прямой, поэтому через них проходит ровно одна плоскость, и стол стоит на этой плоскости.
Работа в классе
В парах смоделируйте с помощью двух карандашей и листа бумаги: расположите карандаши пересекающимися, параллельными и скрещивающимися и каждый раз проверьте, можно ли положить лист (плоскость) через оба.
Упражнения
1
Как могут располагаться две прямые в пространстве?
Пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
2
Через сколько точек, не лежащих на одной прямой, проходит ровно одна плоскость?
3
3
Как расположены прямые, содержащие рёбра AB и C₁D₁ куба (ABCD — нижняя, A₁B₁C₁D₁ — верхняя грань)?
Параллельны (AB ∥ A₁B₁ ∥ C₁D₁).
4
Почему через две скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость?
По определению скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости; если бы общая плоскость существовала, они были бы пересекающимися или параллельными.