Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Квадратный корень из числа z = r(cos φ + i sin φ) — комплексное число w = ρ(cos ψ + i sin ψ), квадрат которого равен z. Из w² = z получаем ρ² = r и 2ψ = φ + 2πn, поэтому ρ = √r и ψ = (φ + 2πn)/2. При n = 0 и n = 1 получаем два различных корня, w₀ = √r(cos φ/2 + i sin φ/2) и w₁ = √r(cos(φ/2 + π) + i sin(φ/2 + π)) = −w₀; при n = 2, 3, … корни повторяются. Значит, у каждого ненулевого комплексного числа два квадратных корня, и они противоположны. Аналогично корень n-й степени имеет модуль ⁿ√r и аргументы (φ + 2πk)/n, k = 0, 1, …, n − 1: таких корней n, и они лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом ⁿ√r. Результат полезно проверить по равенству w² = z.
В парах нарисуйте окружность и отметьте три кубических корня из z = 1 (аргументы 0°, 120°, 240°); с помощью транспортира и линейки проверьте, что они образуют правильный треугольник.