Уроки 2–3 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
2
Высказывания: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция
Учебник, часть 1: с. 14–20
ЦельРаспознавать высказывание; знать таблицы истинности отрицания, конъюнкции и дизъюнкции и показывать их множества истинности на диаграммах Венна.
Высказывание — это повествовательное предложение, которое истинно или ложно; вопрос, приказ или личное мнение («этот цвет красивый») высказыванием не являются. Высказывания обозначают буквами p, q, r, а значения истинности записывают И (истина) и Л (ложь). Отрицание ¬p («не p») ложно, когда p истинно, и истинно, когда p ложно. Конъюнкция p ∧ q («p и q») истинна только тогда, когда оба высказывания истинны; дизъюнкция p ∨ q («p или q») истинна, когда истинно хотя бы одно из них, и ложна только когда оба ложны. Если высказывание зависит от переменной x, то множество значений x, при которых оно истинно, называется его множеством истинности: если P — множество истинности p, то у ¬p оно равно P′, у p ∧ q — P ∩ Q, у p ∨ q — P ∪ Q.
Примеры
p: «17 — простое число» (истина), q: «17 делится на 3» (ложь). Тогда ¬p ложно, ¬q истинно, p ∧ q ложно (вторая часть ложна), p ∨ q истинно (первая часть истинна).
U = {x | 1 ≤ x ≤ 12, x ∈ Z}, p: «x кратно 4», q: «x нечётно». P = {4, 8, 12}, Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. P ∩ Q = ∅, поэтому p ∧ q не истинно ни при каком x; n(P ∪ Q) = 3 + 6 = 9; множество истинности ¬p содержит 12 − 3 = 9 элементов.
Работа в классе
Игра «Верно или неверно?»: учитель называет два высказывания (например, «8 — чётное число» и «8 — простое число»); ученики называют И или Л для высказывания, составленного с помощью «и», «или», «не». Кто ошибается, выбывает.
Упражнения
1
Какие из предложений являются высказываниями: а) «Является ли 9 квадратом?», б) «91 — простое число», в) «Закройте дверь», г) «21 + 19 = 40»? Укажите значение каждого высказывания.
б) и г). б) ложно (91 = 7 · 13), г) истинно.
2
Запишите отрицания высказываний «a ≥ 6» и «треугольник ABC равнобедренный».
a < 6; треугольник ABC не является равнобедренным.
3
U = {1, 2, …, 20}, p: «x кратно 3», q: «x — простое число». Найдите n(P ∪ Q) (кратных 3 — 6 чисел, простых — 8, и только 3 принадлежит обоим множествам).
13
4
Почему p ∨ q ложно только тогда, когда p и q оба ложны?
«Или» требует, чтобы хотя бы одно высказывание было истинным; как только одно истинно, условие выполнено. Оно не выполнено только тогда, когда оба ложны.