Математика 10 класс, 19 неделя, урок 27: Линейные и квадратичные модели

Линейные и квадратичные модели

Уроки 27 · 1 урок · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017

Линейные и квадратичные модели

Учебник, часть 2: с. 12–22

ЦельМоделировать реальные ситуации линейными и квадратичными функциями: вычислять значения, находить вершину параболы и её точки пересечения с осями, восстанавливать формулу по графику.

Новые слова

угловой коэффициент · burchak koeffitsiyentiвершина параболы · parabola uchiось симметрии · simmetriya o‘qiквадратичная функция · kvadrat funksiya

Объяснение

f(x) = ax + b — линейная функция, графиком которой является прямая с угловым коэффициентом a; например, плата = фиксированный платёж + почасовая ставка · время является линейной. y = ax² + bx + c (a ≠ 0) — квадратичная функция, графиком которой является парабола. Она пересекает ось ординат в точке (0; c), а точки её пересечения с осью абсцисс — корни уравнения ax² + bx + c = 0. Ось симметрии — прямая x = −b/(2a), и на ней лежит вершина: чтобы найти её ординату, подставьте x = −b/(2a) в формулу. Если a > 0, ветви направлены вверх, и вершина даёт наименьшее значение; если a < 0, ветви направлены вниз, и вершина даёт наибольшее значение. Если известны корни x₁, x₂, формулу можно записать в виде y = a(x − x₁)(x − x₂); a находим по другой точке параболы.

Примеры

Прямоугольный участок рядом со стеной огораживают 60 м сетки (стена — четвёртая сторона). Если сторона, перпендикулярная стене, равна x, то площадь S(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x. a = −2 < 0, вершина в точке x = −60/(2 · (−2)) = 15: S(15) = 15 · 30 = 450 м² — наибольшая площадь. S(x) = 0 при x = 0 и x = 30, там парабола пересекает ось абсцисс.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках x = −1 и x = 5, а её наименьшее значение равно −18. Она имеет вид y = a(x + 1)(x − 5); ось симметрии x = (−1 + 5)/2 = 2, а в вершине y(2) = a · 3 · (−3) = −9a = −18, поэтому a = 2. Следовательно, y = 2(x + 1)(x − 5) = 2x² − 8x − 10.

Работа в классе

Составьте таблицу для тарифа мобильной связи: ежемесячная плата C(g) = 8000g + 40 000 сумов (g — дополнительные ГБ). Вычислите значения при g = 0, 1, 2, 3, 4, отметьте точки и проверьте, что они лежат на одной прямой.

Упражнения

Запишите уравнение оси симметрии параболы y = ax² + bx + c.

Найдите наименьшее значение функции y = x² − 6x + 5.

Заряд батареи телефона сначала равен 100% и уменьшается на 8% в час: B(t) = 100 − 8t. Через сколько часов останется 36%?

Почему у параболы с a > 0 наименьшее значение достигается в вершине?