Перпендикулярные прямые и плоскости, наклонные, расстояние
Уроки 47–48 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
47
Перпендикулярные прямые и плоскости в пространстве
Учебник, часть 2: с. 119–123
ЦельЗнать перпендикулярные прямые в пространстве, прямую, перпендикулярную плоскости, её признак и свойства, а также формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Новые слова
прямая, перпендикулярная плоскости · tekislikka perpendikular chiziqпризнак перпендикулярности · perpendikularlik alomatiпрямоугольный параллелепипед · to‘g‘ri burchakli parallelepipedдиагональ · diagonal
Объяснение
Две прямые с углом 90° между ними перпендикулярны; они могут быть пересекающимися или скрещивающимися (a ⊥ b). Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Свойства: две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны; прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой; две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны; через каждую точку пространства проходит ровно одна плоскость, перпендикулярная данной прямой, и ровно одна прямая, перпендикулярная данной плоскости. Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c диагональ d удовлетворяет равенству d² = a² + b² + c² (обобщённая теорема Пифагора).
Примеры
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 6, 9. d² = 4 + 36 + 81 = 121, поэтому d = 11.
Отрезок SA перпендикулярен плоскости ABC, когда SA ⊥ AB и SA ⊥ AC (AB, AC пересекаются). По признаку SA ⊥ (ABC), значит, SA перпендикулярен каждой прямой плоскости, в том числе BC: SA ⊥ BC.
Работа в классе
Используйте угол комнаты как модель: две стены и пол дают три взаимно перпендикулярные прямые (рёбра). Измерьте размеры рулеткой (с помощью взрослого) и вычислите диагональ комнаты по формуле.
Упражнения
1
Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
2
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4, 12. Найдите его диагональ.
13
3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 6, AD = 8, AA₁ = 24. Найдите диагональ основания BD и диагональ параллелепипеда BD₁.