Уроки 18 · 1 урок · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
18
Практика и применения: планиметрия
Учебник, часть 1: с. 108–111
ЦельПовторить основные факты планиметрии (углы, треугольник, четырёхугольники, окружность) и применять их в задачах на вычисление и обоснование.
Новые слова
накрест лежащие углы · ichki almashinuvchi burchaklarсредняя линия · o‘rta chiziqхорда · vatarвписанная окружность · ichki chizilgan aylana
Объяснение
Вертикальные углы, образованные двумя пересекающимися прямыми, равны, а смежные углы в сумме дают 180°. Когда секущая пересекает две параллельные прямые, накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180°. Сумма углов треугольника равна 180°, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; у выпуклого n-угольника сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (S = d₁d₂/2), а его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Длина окружности равна 2πR, площадь круга — πR²; радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны; если расстояние от центра до хорды равно d, то половина хорды равна √(R² − d²), так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам. При решении сначала выполните чертёж, отметьте данные и выберите подходящий факт.
Примеры
Площадь трапеции равна 72 см², высота 8 см. Так как S = (a + b)/2 · h, средняя линия m = (a + b)/2 = S/h = 72/8 = 9 см. Если одно основание равно 12 см, то другое равно 2 · 9 − 12 = 6 см.
В окружности радиуса 13 см проведена хорда на расстоянии 5 см от центра. Половина хорды равна √(13² − 5²) = √144 = 12 см, значит, хорда равна 24 см. Половина хорды, d и R образуют прямоугольный треугольник (теорема Пифагора).
Работа в классе
Эстафета повторения: класс делится на две команды; на доске записаны шесть коротких задач (угол, трапеция, ромб, окружность). Члены команды по очереди решают по одной задаче, а предыдущий участник проверяет ответ.
Упражнения
1
Как найти сумму внутренних углов выпуклого n-угольника?
(n − 2) · 180°
2
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника на 720° больше, чем у четырёхугольника. Сколько у него сторон?
8
3
Сторона ромба равна 13 см, а одна диагональ 24 см. Найдите другую диагональ и площадь.
Половины диагоналей равны 12 и √(13² − 12²) = 5, поэтому другая диагональ равна 10 см; S = 24 · 10/2 = 120 см².
4
Почему перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам?
Соединив концы хорды с центром, получаем равнобедренный треугольник (две стороны — радиусы). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой.