Комплексные числа и действия над ними

Уравнение x² + 4 = 0 не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому вводим символ i, для которого i² = −1 (мнимая единица). Число a + bi с действительными a, b называется комплексным числом; a — его действительная часть Re(z), а b — мнимая часть Im(z). Два комплексных числа равны, когда равны по отдельности их действительные части и их мнимые части; их нельзя сравнивать знаками «<» или «>». Сложение и вычитание выполняются отдельно с действительными и мнимыми частями; при умножении раскрывают скобки и используют i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Сопряжённое числу z = a + bi число — z̄ = a − bi, а z · z̄ = a² + b² — действительное число. При делении умножаем числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю. Число z = a + bi изображается на плоскости точкой (a; b) (или вектором, идущим в неё): Ox — действительная ось, а Oy — мнимая ось.