Уроки 42 · 1 урок · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
42
Взаимное расположение прямых в пространстве
Учебник, часть 2: с. 99–105
ЦельЗнать свойства параллельных прямых в пространстве, признаки параллельных и скрещивающихся прямых, свойства параллелепипеда и угол между скрещивающимися прямыми.
Новые слова
параллельные прямые · parallel to‘g‘ri chiziqlarпризнак скрещивающихся прямых · ayqashlik alomatiугол между прямыми · chiziqlar orasidagi burchakдиагональ параллелепипеда · parallelepiped diagonali
Объяснение
Две прямые в пространстве параллельны (a ∥ b), если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная ей. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то пересекает её и другая. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу (признак параллельности прямых). Признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются. Меньший из смежных углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, — угол между ними; угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, параллельными им (его можно построить из любой точки, результат будет один и тот же). Прямые с углом 90° перпендикулярны; угол между параллельными прямыми считается равным 0°. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны, а четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Примеры
В кубе прямые AC и A₁D скрещиваются. Так как A₁D ∥ B₁C, угол равен ∠ACB₁. Три стороны треугольника ACB₁ — диагонали граней и равны между собой, поэтому угол равен 60°.
В кубе AA₁ ∥ BB₁ и CC₁ ∥ BB₁, поэтому по признаку AA₁ ∥ CC₁. Значит, AA₁ и CC₁ лежат в одной плоскости, и AA₁C₁C — четырёхугольник (на самом деле прямоугольник со сторонами a и a√2); его диагонали AC₁ и A₁C — диагонали куба и делятся точкой пересечения пополам.
Работа в классе
С помощью двух карандашей (моделей прямых) и картонной коробки покажите две пары скрещивающихся прямых и угол между ними (передвиньте один карандаш параллельно самому себе и измерьте).
Упражнения
1
Сформулируйте признак о двух прямых, параллельных третьей.
Они параллельны друг другу.
2
В тетраэдре ABCD точки K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA. Какому ребру параллельны KL и NM и почему KLMN — параллелограмм?
KL — средняя линия треугольника ABC, а NM — треугольника ACD; обе параллельны AC и равны AC/2. Значит, KL ∥ NM и KL = NM, поэтому KLMN — параллелограмм.
3
В кубе найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁ (DC₁ ∥ AB₁).
60°
4
Почему угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбранной точки?
Пары параллельных прямых, проведённые через любую точку, образуют углы с параллельными сторонами, а углы с параллельными сторонами равны.