☰ Содержание · Математика

Параллельность прямой и плоскости и двух плоскостей

Уроки 43–44 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
43

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Учебник, часть 2: с. 106–107
ЦельЗнать положения прямой и плоскости, признак и свойство прямой, параллельной плоскости, и применять их в задачах.
Новые слова
параллельность прямой и плоскости · to‘g‘ri chiziq va tekislik parallelligiпризнак · alomatлиния пересечения · kesishish chizig‘iподобные треугольники · o‘xshash uchburchaklar
Объяснение

Прямая и плоскость могут располагаться тремя способами: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или не имеет с ней общих точек. Если общих точек нет, прямая параллельна плоскости. Признак: прямая, не лежащая в плоскости и параллельная некоторой прямой этой плоскости, параллельна самой плоскости. Свойство: если плоскость проходит через прямую, параллельную второй плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой. Так, например, если плоскость, параллельная стороне BC треугольника, пересекает AB и AC в точках B₁, C₁, то B₁C₁ ∥ BC и, по подобию треугольников, B₁C₁ : BC = AB₁ : AB. Прямая, параллельная плоскости, не параллельна всем прямым этой плоскости: некоторые из них с ней скрещиваются, а параллельны ей только прямые того же направления.

Примеры
В треугольнике ABC плоскость, параллельная BC, пересекает AB и AC в точках B₁ и C₁; AB₁ : B₁B = 3 : 2 и BC = 20. Тогда AB₁ : AB = 3 : 5, поэтому B₁C₁ = 20 · 3/5 = 12.
В кубе прямая A₁B₁ параллельна плоскости ABCD: A₁B₁ ∥ AB, AB лежит в ABCD, а A₁B₁ — нет, поэтому применим признак.
Работа в классе

Постройте модель из карандаша и столешницы: держите карандаш над столом параллельно прямой на нём и покажите, что он не пересекает стол; затем поверните его в положение, скрещивающееся с прямой на столе.

Упражнения
1
Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
2
В треугольнике ABC плоскость, параллельная BC, пересекает AB и AC в точках B₁, C₁, при этом AB₁ : AB = 2 : 5 и BC = 15. Найдите B₁C₁.
3
ABCD — квадрат, M — точка вне его плоскости; K и L — середины MA и MB. Параллельна ли прямая KL плоскости ABCD? Обоснуйте.
4
Почему прямая, параллельная плоскости, не параллельна всем прямым этой плоскости?