☰ Содержание · Математика

Тригонометрические неравенства и преобразования графиков

Уроки 31–32 · 2 урока · М. А. Мирзаахмедов, Ш. Н. Исмаилов, А. К. Аманов (алгебра и начала анализа), Б. К. Хайдаров (геометрия). Математика, 10 класс, части 1 и 2, 1-е издание. EXTREMUM PRESS, Ташкент, 2017
31

Простейшие тригонометрические неравенства

Учебник, часть 2: с. 44–47
ЦельРешать простейшие неравенства, сравнивающие sin x, cos x и tg x с числом a, с помощью единичной окружности.
Новые слова
тригонометрическое неравенство · trigonometrik tengsizlikдуга единичной окружности · birlik aylana yoyiпериод · davrпромежуток · oraliq
Объяснение

Неравенства вида a₁ < sin x < b₁, a₂ < cos x < b₂, a₃ < tg x < b₃ — простейшие тригонометрические неравенства. Значение sin x — ордината точки на единичной окружности, а cos x — её абсцисса. Чтобы решить sin x > a, находим дугу точек с ординатой больше a, а её концы берём из уравнения sin x = a. Для cos x > a берём дугу, абсцисса точек которой больше a. Сначала решаем в пределах одного периода (например, [0; 2π]), а затем прибавляем период: 2πk для sin и cos, πk для tg, k ∈ ℤ. Если неравенство строгое, концы исключаются; если нет — включаются. Для проверки выберите одну точку решения и подставьте её в неравенство.

Примеры
sin x ≥ √3/2 (в пределах одного периода): ордината не меньше √3/2 при x от π/3 до 2π/3. В общем виде x ∈ [π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk], k ∈ ℤ.
cos x < −1/2: cos x = −1/2 при x = 2π/3 и x = 4π/3. Дуга с абсциссой меньше −1/2 лежит между этими точками. Ответ: x ∈ (2π/3 + 2πk; 4π/3 + 2πk), k ∈ ℤ.
Работа в классе

Нарисуйте в тетради окружность, цветным карандашом заштрихуйте дугу, удовлетворяющую условию sin x > 1/2, и запишите углы её концов; ваш партнёр делает то же для cos x ≤ 1/2.

Упражнения
1
Каково решение неравенства sin x > 0 на [0; 2π]?
2
Решите cos x > 0 на [0; 2π].
3
Решите sin x < −1/2 на [0; 2π].
4
Почему неравенство sin x ≤ 2 выполняется при любом x?