Shar va uning bo‘laklari hajmi
Kavalyeri prinsipi: ikki jismni bitta tekislikka parallel tekisliklar bilan kesganda har doim teng yuzali kesimlar chiqsa, jismlar hajmi teng. Radiusi R bo‘lgan yarimshar va asosining radiusi R, balandligi R bo‘lgan silindrdan konus o‘yib olingan jism bu prinsipga ko‘ra teng: x balandlikda kesimlar yuzlari π(R² − x²). Shuning uchun yarimshar hajmi πR³ − ⅓πR³ = ⅔πR³ va sharning hajmi V = (4/3)πR³; ya’ni shar unga tashqi chizilgan silindr hajmining ⅔ qismi (Arximed). Radiuslari R va r (r < R) bo‘lgan konsentrik sharlar orasidagi shar halqasining hajmi (4/3)π(R³ − r³). Balandligi h bo‘lgan shar segmentining hajmi V = πh²(3R − h)/3; shar sektori (segment va konus birgalikda) uchun V = ⅔πR²h; ikki parallel tekislik orasidagi shar kamari uchun, asos radiuslari r₁, r₂ va balandligi h bo‘lsa, V = (πh/6)(3r₁² + 3r₂² + h²). O‘xshash sharlar hajmlari radiuslar kubi kabi nisbatda.
«Arximed idishi»: kattalar nazoratida tennis to‘pi sig‘adigan silindrsimon idishni (balandligi — to‘pning diametriga teng) chetigacha suv bilan to‘ldiring, to‘pni ehtiyotlik bilan botiring va siqib chiqqan suvni o‘lchang. U idish hajmining taxminan ⅔ qismini tashkil qilishi kerak.