Darslar 13 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
13
Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari
Darslik, 1-qism: 79–85-betlar
MaqsadBoshlang‘ich funksiya va aniqmas integral ta’riflarini o‘zlashtirish, boshlang‘ich funksiyalar to‘plamini F(x) + C ko‘rinishida yozish va berilgan nuqtadan o‘tuvchisini topish.
Yangi so‘zlar
boshlang‘ich funksiya · antiderivativeaniqmas integral · indefinite integralintegral ostidagi funksiya · integrandixtiyoriy o‘zgarmas C · arbitrary constant C
Tushuntirish
Agar biror oraliqda F′(x) = f(x) bo‘lsa, F(x) funksiya f(x) ning shu oraliqdagi boshlang‘ich funksiyasi deyiladi; bu differensiallashga teskari amal. Masalan, tezlik v(t) berilsa, yo‘l s(t) uning boshlang‘ich funksiyasi. Boshlang‘ich funksiya yagona emas: F(x) ning hosilasi f(x) bo‘lsa, F(x) + C ning hosilasi ham f(x) (o‘zgarmasning hosilasi 0), va f ning barcha boshlang‘ichlari faqat F(x) + C ko‘rinishda bo‘ladi. Shu to‘plam f(x) ning aniqmas integrali deyiladi va ∫ f(x) dx = F(x) + C kabi yoziladi (∫ — integral belgisi, f(x) — integral ostidagi funksiya, f(x) dx — integral ostidagi ifoda). Grafigi F(x) + C egri chiziqlar Oy o‘qi bo‘ylab siljitilgan nusxalardir. Berilgan nuqtadan o‘tuvchi boshlang‘ichni topish uchun nuqta koordinatalarini F(x) + C ga qo‘yib, C ni topamiz. Natija to‘g‘riligini hosila olib tekshirish mumkin: (F(x) + C)′ = f(x) chiqishi kerak.
Nuqta tezligi v(t) = 6t + 2 (m/s), t = 0 da s = 0. s(t) = ∫ (6t + 2) dt = 3t² + 2t + C; s(0) = 0 ⇒ C = 0. 4 s da yo‘l: s(4) = 48 + 8 = 56 m. Yana: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ dx/x = ln|x| + C.
Sinfda faoliyat
«Teskari yo‘l»: har bir juftlik bir funksiyani differensiallaydi va natijani boshqa juftlikka beradi. Ular bu hosilaning boshlang‘ich funksiyasini topadi va C ni nima bilan aniqlash mumkinligini muhokama qiladi (qo‘shimcha shart kerakmi?). So‘ng asl funksiya bilan solishtiring.
Mashq
1
F(x) = x⁴ − 2x + 7 funksiya f(x) = 4x³ − 2 ning boshlang‘ich funksiyasi ekanini ko‘rsating.
F′(x) = 4x³ − 2 + 0 = f(x).
2
f(x) = 5x⁴ ning barcha boshlang‘ich funksiyalarini yozing.
F = x² + x + C; 1 + 1 + C = 4 ⇒ C = 2; F(x) = x² + x + 2.
4
x² va x² + 5 ikkalasi ham 2x ning boshlang‘ich funksiyasi. Bu ziddiyat emasmi? Tushuntiring.
Ziddiyat emas: o‘zgarmasning hosilasi 0, shuning uchun ularning hosilalari bir xil. Barcha boshlang‘ichlar x² + C ko‘rinishida va grafiklari Oy bo‘ylab siljigan.