Darslar 20–21 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
20
Ko‘pyoqli burchaklar va ko‘pyoqlar
Darslik, 1-qism: 146–152-betlar
MaqsadIkkiyoqli va uch yoqli burchaklar, qavariq ko‘pyoqlar, Eyler teoremasi (Y + U − Q = 2) va muntazam ko‘pyoqlarni o‘rganish.
Ikkiyoqli burchak — umumiy qirrali ikki yarimtekislikdan iborat shakl; uning o‘lchovi chiziqli burchagi, ya’ni qirraning bir nuqtasidan yoqlarda qirraga perpendikular chiqarilgan nurlar orasidagi burchak. Ikki tekislik kesishganda hosil bo‘ladigan ikkiyoqli burchaklar orasida qo‘shnilarining yig‘indisi 180°. Bir nuqtadan chiquvchi uchta nur uch yoqli burchakni hosil qiladi; uning tekis burchaklari uchun har biri qolgan ikkitasining yig‘indisidan kichik va yig‘indisi 360° dan kichik. Ko‘pyoq — yassi ko‘pburchaklar bilan chegaralangan jism; hamma yoqlarining tekisliklari bir tomonida yotsa, u qavariq. Eyler teoremasi: qavariq ko‘pyoq uchun Y + U − Q = 2 (Y — yoqlar, U — uchlar, Q — qirralar soni). Natija: tekis burchaklar soni 2Q ga teng, ularning yig‘indisi 360°(U − 2). Muntazam ko‘pyoqda yoqlar teng muntazam ko‘pburchaklar va har bir uchda bir xil sondagi qirralar tutashadi; ular beshta: tetraedr, kub (geksaedr), oktaedr, dodekaedr, ikosaedr.
Jism
F
V
E
F + V − E
tetraedr
4
4
6
2
kub
6
8
12
2
oktaedr
8
6
12
2
beshburchakli prizma
7
10
15
2
to‘rtburchakli piramida
5
5
8
2
Namunalar
Besh burchakli prizma: Y = 7, U = 10, Q = 15, Y + U − Q = 7 + 10 − 15 = 2. Qavariq ko‘pyoqning 8 ta uchi va 12 ta qirrasi bor bo‘lsa, Y = 2 − U + Q = 2 − 8 + 12 = 6. 60° li ikkiyoqli burchak yog‘idagi nuqta qirradan 9 masofada: ikkinchi yoqqacha masofa 9 · sin 60° = 9√3/2.
Tekis burchaklari 50°, 60°, 70° bo‘lgan uch yoqli burchak mavjud: 50 + 60 > 70, 50 + 70 > 60, 60 + 70 > 50 va yig‘indi 180° < 360°. 40°, 50°, 100° bo‘lsa mavjud emas, chunki 40 + 50 = 90 < 100. Muntazam ko‘pyoq: kub uchun Y = 6, Q = 12, U = 8: 6 + 8 − 12 = 2; uchlarida 3 tadan qirra tutashadi.
Sinfda faoliyat
«Platon jismlari»: sinf beshta muntazam ko‘pyoqning yoyilmasini qog‘ozda chizadi (katta kishi yordamida qaychi bilan kesiladi) va yelimlaydi. Har bir modelda yoqlar, qirralar va uchlar sonini sanab, jadvalga yozadi va Eyler formulasini tekshiradi.
Mashq
1
Qavariq ko‘pyoqning 10 ta yog‘i va 16 ta uchi bor. Qirralari nechta?
24
2
Qo‘shni ikkiyoqli burchaklardan biri ikkinchisidan 40° katta. Kattasi necha gradus?
110
3
Uch yoqli burchakning ikkita tekis burchagi 50° va 80°. Uchinchi tekis burchak qanday chegaralarda bo‘lishi mumkin?
Nima uchun muntazam ko‘pyoqlar faqat beshta? Uchdagi tekis burchaklar yig‘indisi 360° dan kichik bo‘lishidan foydalaning.
Uchburchaklar (60°): uchda 3, 4 yoki 5 tadan (180°, 240°, 300°), 6 ta bo‘lsa 360°. Kvadratlar (90°): faqat 3 ta. Beshburchaklar (108°): faqat 3 ta. Oltiburchak (120°) 3 ta bo‘lsa ham 360°. Jami 3 + 1 + 1 = 5 xil.
