☰ Mundarija · Matematika

Piramida va kesik piramida

Darslar 38 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
38

Piramida va kesik piramida

Darslik, 2-qism: 113–126-betlar
MaqsadPiramida va kesik piramidaning elementlari, yon va to‘la sirti hamda hajmini topish va o‘xshash jismlar hajmlarining nisbatini qo‘llashni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
piramida · pyramidapofema · slant height (apothem)kesik piramida · frustum of a pyramido‘xshashlik koeffitsiyenti · similarity ratio
Tushuntirish

Piramidaning bitta yog‘i ko‘pburchak (asos), qolganlari umumiy uchga ega uchburchaklar (yon yoqlar); uchidan asos tekisligiga tushirilgan perpendikular — balandlik H. Asosi muntazam ko‘pburchak va balandligi uning markaziga tushsa, piramida muntazam; yon yog‘ining uchdan tushirilgan balandligi — apofema l. Muntazam piramida uchun S_yon = ½ P l (P — asos perimetri), S_to‘la = S_yon + S_asos, hajm esa har qanday piramidada V = ⅓ S_asos H. Piramidani asosga parallel tekislik bilan kessak, unga o‘xshash kichik piramida va kesik piramida hosil bo‘ladi; o‘xshashlik koeffitsiyenti k bo‘lsa, uzunliklar k marta, yuzlar k², hajmlar k³ marta farq qiladi. Asoslari yuzlari Q₁ va Q₂, balandligi H bo‘lgan kesik piramidaning hajmi V = (H/3)(Q₁ + √(Q₁Q₂) + Q₂); muntazam kesik piramidaning yon sirti S_yon = ½(P₁ + P₂) l. Masalalarda H, apofema va asosning yarim tomoni (yoki ichki aylana radiusi) hosil qiladigan to‘g‘ri burchakli uchburchakdan foydalaning.

Namunalar
Muntazam to‘rtburchakli piramida: asos tomoni 10, balandligi 12. Asos tomonining yarmi 5, apofema l = √(144 + 25) = 13. S_yon = ½ · 40 · 13 = 260, S_asos = 100, S_to‘la = 360, V = ⅓ · 100 · 12 = 400. Yon qirra √(144 + 50) = √194.
Muntazam to‘rtburchakli kesik piramida: asoslari tomonlari 12 va 6, balandligi 4. Q₁ = 144, Q₂ = 36, √(Q₁Q₂) = 72; V = (4/3)(144 + 72 + 36) = (4/3) · 252 = 336. Apofema: yarim tomonlar ayirmasi 6 − 3 = 3, l = √(16 + 9) = 5; S_yon = ½ (48 + 24) · 5 = 180.
Sinfda faoliyat

«Qog‘oz piramida»: kattalar yordamida qaychi bilan tomoni 6 cm kvadrat va balandligi 5 cm bo‘lgan to‘rtta teng yonli uchburchakni (asos 6 cm) qirqib, piramida yasang. Apofema 5, yarim tomon 3 bo‘lgani uchun H = 4 cm. S_yon = ½ · 24 · 5 = 60 cm² va V = ⅓ · 36 · 4 = 48 cm³ ni hisoblab, balandlikni o‘lchab tekshiring.

Mashq
1
Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 6, balandligi 4. Hajmini toping.
2
Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining tomoni 8, apofemasi 5. Yon sirtini toping.
3
Kesik piramida asoslarining yuzlari 36 va 9, hajmi 84. Balandligini toping.
4
Nima uchun asosga parallel kesimda yuzlar nisbati k², hajmlar nisbati esa k³?