☰ Mundarija · Matematika

Almashtirishlar va bobni takrorlash

Darslar 18–19 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
18

Fazoda almashtirishlar va o‘xshashlik

Darslik, 1-qism: 133–141-betlar
MaqsadFazodagi almashtirishlarni (parallel ko‘chirish, markaziy, tekislikka va o‘qqa nisbatan simmetriya, burish, gomotetiya) va ularning koordinata formulalarini bilish; o‘xshashlik va harakatni farqlash.
Yangi so‘zlar
parallel ko‘chirish · translationsimmetriya · symmetry (reflection)gomotetiya · homothetyharakat · isometry (motion)
Tushuntirish

Harakat — nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan almashtirish; parallel ko‘chirish, nuqtaga, tekislikka va o‘qqa nisbatan simmetriya hamda burish shunday almashtirishlardir. p(a; b; c) vektor bo‘ylab parallel ko‘chirishda (x; y; z) nuqta (x + a; y + b; z + c) ga o‘tadi. Markaz C ga nisbatan markaziy simmetriyada A nuqta A′ ga o‘tadi, bunda C — AA′ ning o‘rtasi: A′ = 2C − A. Koordinata tekisliklariga nisbatan simmetriyada bitta koordinata ishorasi o‘zgaradi: Oxy ga nisbatan (x; y; −z), Oxz ga (x; −y; z), Oyz ga (−x; y; z); koordinata o‘qlariga nisbatan ikki koordinata ishorasi o‘zgaradi (Oz ga nisbatan (−x; −y; z)), koordinata boshiga nisbatan uchalasi. Gomotetiya markazi O va koeffitsiyenti k ≠ 0 bo‘lsa, X nuqta X′ ga o‘tadi, OX′ = k·OX; masofalar |k| marta o‘zgaradi, shakl esa o‘xshash bo‘lib qoladi (gomotetiya — o‘xshashlik almashtirishi, k = ±1 dan boshqa hollarda harakat emas). Ikki shakl o‘xshash deyiladi, agar biri ikkinchisiga o‘xshashlik almashtirishi bilan o‘tsa.

Namunalar
p(2; −1; 4) bo‘yicha parallel ko‘chirish: (3; 0; −2) → (5; −1; 2). C(1; 2; 3) markazga nisbatan A(4; 0; 5) ning simmetrigi A′ = 2C − A = (2 − 4; 4 − 0; 6 − 5) = (−2; 4; 1). Tekshiruv: AA′ o‘rtasi ((4 − 2)/2; (0 + 4)/2; (5 + 1)/2) = (1; 2; 3) = C.
Markaz koordinata boshida, k = −2 bo‘lgan gomotetiyada (1; −3; 2) → (−2; 6; −4). (0; 0; 0) va (1; 0; 0) orasidagi masofa 1, tasvirlari (0; 0; 0) va (−2; 0; 0) orasida 2: masofa |k| = 2 marta ortdi, shuning uchun gomotetiya harakat emas. Oyz ga nisbatan simmetriyada (4; −1; 5) → (−4; −1; 5); Oz o‘qiga nisbatan (4; −1; 5) → (−4; 1; 5).
Sinfda faoliyat

«Oyna va nusxa»: o‘quvchilar kub modelini (qalin qog‘ozdan, katta kishi yordamida qaychi bilan) yasab, uning bir uchini koordinata boshiga qo‘yadi. Har bir juftlik uch xil almashtirishni (ko‘chirish, tekislikka nisbatan simmetriya, gomotetiya) tanlab, tasvir uchlari koordinatalarini hisoblaydi va boshqa juftlik bilan tekshiradi.

Mashq
1
p(−3; 2; 5) bo‘yicha parallel ko‘chirishda (1; 1; 1) nuqta qaysi nuqtaga o‘tadi?
2
(2; −5; 4) nuqtaning Oxz tekislikka nisbatan simmetrik nuqtasini toping.
3
A(5; −1; 2) nuqtaning C(1; 3; −4) markazga nisbatan markaziy simmetrik nuqtasini toping.
4
Nima uchun k = 3 koeffitsiyentli gomotetiya harakat emas?