Darslar 3 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
3
Hosila, uning geometrik va fizik ma’nosi
Darslik, 1-qism: 16–23-betlar
MaqsadHosilaning ta’rifini limit orqali yozish, uning geometrik (urinmaning burchak koeffitsiyenti) va fizik (oniy tezlik) ma’nosini tushunish hamda ta’rif bo‘yicha oddiy hosilalarni topish.
Yangi so‘zlar
hosila · derivativedifferensiallash · differentiationoniy tezlik · instantaneous velocityurinmaning burchak koeffitsiyenti · slope of the tangent
Tushuntirish
y = f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h (h → 0) limitdir, agar u mavjud bo‘lsa; hosilani topish amali differensiallash deyiladi. Belgilash: f′(x), y′ yoki dy/dx. Geometrik ma’no: f′(x₀) funksiya grafigiga (x₀; f(x₀)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentiga teng. Fizik ma’no: moddiy nuqta s(t) qonun bilan harakatlansa, uning t momentdagi oniy tezligi v(t) = s′(t); umuman, hosila — funksiyaning o‘zgarish tezligi. Ta’rifdan (c)′ = 0, (x)′ = 1, (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x² kelib chiqadi. Hosila musbat bo‘lsa, urinma yuqoriga ko‘tariladi (funksiya shu nuqta yaqinida o‘sadi), manfiy bo‘lsa pastga tushadi.
f(x) = 1/(x + 1), x ≠ −1. f(x + h) − f(x) = 1/(x + h + 1) − 1/(x + 1) = −h/((x + h + 1)(x + 1)). h ga bo‘lib va h → 0 desak, f′(x) = −1/(x + 1)². Hosila hamma joyda manfiy: funksiya o‘z aniqlanish oraliqlarida kamayadi.
Sinfda faoliyat
«Hosila tinglovchi»: sinf ikkiga bo‘linadi. Birinchi guruh funksiyani (masalan, x³ yoki 1/(x + 1)) tanlab, ta’rif bo‘yicha hosilani topadi, ikkinchi guruh esa shu funksiya grafigidagi bir nuqtada urinma burchak koeffitsiyentini jadval orqali (h = 0,1; 0,01; 0,001) taxminan hisoblaydi. Guruhlar natijalarini solishtiradi.
Mashq
1
Ta’rif bo‘yicha f(x) = 5x − 2 ning hosilasini toping.
(5(x + h) − 2 − 5x + 2)/h = 5, shuning uchun f′(x) = 5.
2
Nuqta s(t) = 4t² − t (m) qonun bilan harakatlanadi. s(t + h) − s(t) = 8th + 4h² − h bo‘lsa, t = 2 s dagi oniy tezlikni (m/s) toping.
15
3
y = x² − 3x grafigiga x = 2 nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini toping.
1
4
f′(x₀) < 0 bo‘lsa, grafik va urinma haqida nima deyish mumkin? Nima uchun?
Urinmaning burchak koeffitsiyenti manfiy, ya’ni urinma chapdan o‘ngga pasayadi; funksiya x₀ yaqinida kamayadi, chunki h > 0 uchun (f(x₀ + h) − f(x₀))/h < 0.