☰ Mundarija · Matematika

Integralga doir masalalar yechish

Darslar 27 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
27

Masalalar yechish (integral)

Darslik, 2-qism: 13–26-betlar
MaqsadDifferensial tenglamalar y′ = f(x), y′ = ky va y′ = k(y − a) ni yechish va ularni harakat, o‘sish, sovish masalalariga qo‘llashni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
differensial tenglama · differential equationboshlang‘ich shart · initial conditionumumiy yechim · general solutionproporsionallik koeffitsiyenti · proportionality coefficient
Tushuntirish

Noma’lum funksiyaning hosilasi qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi. Eng sodda ko‘rinishi y′ = f(x): uning yechimi f ning boshlang‘ich funksiyasi, ya’ni y = F(x) + C, bu yerda C — ixtiyoriy son, shuning uchun yechimlar cheksiz ko‘p (umumiy yechim). Aniq yechimni ajratish uchun boshlang‘ich shart beriladi, masalan y(x₀) = y₀: uni umumiy yechimga qo‘yib C ni topamiz. Harakat masalalarida s′(t) = v(t) va v′(t) = a(t), shuning uchun yo‘l tezlikning, tezlik tezlanishning boshlang‘ich funksiyasi. O‘zgarish tezligi miqdorning o‘ziga proporsional bo‘lsa, y′ = ky va uning yechimi y = y₀e^(kt) bo‘ladi (k > 0 — o‘sish, k < 0 — kamayish). Agar tezlik y − a ayirmaga proporsional bo‘lsa, y′ = k(y − a), z = y − a almashtirish bilan y = a + (y₀ − a)e^(kt) hosil bo‘ladi — Nyutonning sovish qonuni shunday yoziladi.

Namunalar
y′ = 6x² − 4x tenglamaning y(1) = 5 shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Umumiy yechim y = 2x³ − 2x² + C. x = 1 da 2 − 2 + C = 5, ya’ni C = 5. Javob: y = 2x³ − 2x² + 5. Tekshiruv: y′ = 6x² − 4x, y(1) = 5.
Bakteriyalar soni o‘z miqdoriga proporsional o‘sadi, har 2 soatda ikki barobar ko‘payadi, boshida 100 ta. Bunda y = 100e^(kt), e^(2k) = 2, demak 6 soatdan keyin y = 100 · (e^(2k))³ = 100 · 8 = 800. Choy 80 °C, xona 20 °C, T′ = k(T − 20); farq 10 daqiqada yarmiga kamaysa, T(10) = 20 + (80 − 20) · ½ = 50 °C.
Sinfda faoliyat

«Tormozlanish»: avtomobil 20 m/s tezlikda ketmoqda va a = −4 m/s² tezlanish bilan tormozlanadi. Tenglamalarni v′ = −4, v(0) = 20 va s′ = v, s(0) = 0 deb yozing va yeching. To‘xtash vaqti va tormozlanish yo‘lini toping (v = 20 − 4t, t = 5 s, s = 20t − 2t² = 50 m).

Mashq
1
y′ = 4x³ − 3 tenglamaning y(0) = 2 shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
2
Nuqtaning tezligi v(t) = 6 − 2t (m/s). U t = 0 dan t = 3 s gacha qancha yo‘l bosadi (v > 0)?
3
y′ = ky, y(0) = 5 va y(1) = 10. y(3) ni toping.
4
Nima uchun y′ = f(x) ning yechimi bitta funksiya emas, funksiyalar oilasi?