☰ Mundarija · Matematika

Ekstremal masalalar

Darslar 9 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
9

Ekstremal masalalarni yechishda differensial hisob usullari

Darslik, 1-qism: 50–55-betlar
MaqsadGeometrik, fizik va iqtisodiy mazmunli ekstremal masalalarni funksiya tuzib, hosila yordamida yechish.
Yangi so‘zlar
ekstremal masala · extremal (optimisation) problemtezlanish · accelerationdaromad · revenue / profitaniqlanish sohasi · domain
Tushuntirish

Ekstremal masala — biror kattalikning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish masalasi. Yechish ketma-ketligi: 1) o‘zgaruvchini (masalan, x) tanlang va uning mumkin bo‘lgan qiymatlarini (aniqlanish sohasini) yozing; 2) optimallashtiriladigan kattalikni shu o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida ifodalang, shartdan boshqa o‘zgaruvchilarni yo‘qotib; 3) hosilani topib, statsionar nuqtalarni toping; 4) hosila ishorasi yoki kesma uchlaridagi qiymatlar bilan eng katta/eng kichik qiymatni aniqlang; 5) javobni masala tilida yozing. Fizikada tezlik v = s′, tezlanish a = v′ = s″ (m/s²), shuning uchun «eng katta tezlik» uchun v ni, «eng katta tezlanish» uchun a ni hosila yordamida tekshirasiz. Iqtisodiyotda daromad yoki foyda x ta mahsulotning funksiyasi P(x) bo‘ladi va uning maksimumi P′(x) = 0 dan topiladi.

Namunalar
Devorga taqalgan to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi bog‘ni uch tomondan 80 m to‘r bilan o‘rash kerak (devor tomoni o‘ralmaydi). Devorga perpendikular tomon x m bo‘lsin, u holda devorga parallel tomon 80 − 2x m, yuz S(x) = x(80 − 2x), 0 < x < 40. S′ = 80 − 4x = 0 ⇒ x = 20; S′ «+» dan «−» ga o‘tadi, demak, maksimum: S(20) = 20 · 40 = 800 m².
Harakat qonuni s(t) = −t³ + 12t² (m). v(t) = −3t² + 24t, a(t) = −6t + 24. Eng katta tezlik v′ = a = 0 da: t = 4 s (a «+» dan «−» ga o‘tadi). v(4) = −48 + 96 = 48 m/s. Shu paytgacha bosib o‘tilgan yo‘l s(4) = −64 + 192 = 128 m.
Sinfda faoliyat

«Qutini loyihalang»: juftliklar A4 qog‘ozdan (o‘qituvchi yoki kattalar yordamida kesib, qaychi bilan ehtiyot bo‘ling) turli x ga ega ochiq qutilar tayyorlab, hajmlarini hisoblab jadvalga yozadi va qaysi x da hajm eng katta bo‘lishini taxmin qiladi. So‘ng hosila bilan topilgan natijani jadval bilan solishtiring.

Mashq
1
Yig‘indisi 20 ga teng ikki musbat sonning ko‘paytmasi eng ko‘pi bilan nechaga teng bo‘lishi mumkin?
2
Nuqta s(t) = t³ − 9t² + 24t (m) qonun bilan harakatlanadi. Qaysi paytda (s) tezlanish nolga teng?
3
Kafe sendvich narxini x ming so‘m qilib belgilasa, kuniga 120 − 10x ta sendvich sotiladi. Kunlik tushum eng katta bo‘ladigan narxda tushum necha ming so‘m bo‘ladi?
4
Nima uchun yuz funksiyasi S(x) = x(80 − 2x) ning statsionar nuqtasi eng katta, eng kichik emas, qiymat beradi?