☰ Mundarija · Matematika

Murakkab funksiyaning hosilasi

Darslar 5 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
5

Murakkab funksiyaning hosilasi

Darslik, 1-qism: 30–33-betlar
MaqsadMurakkab funksiyani tashqi va ichki funksiyalarga ajratish hamda uning hosilasini (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) formula bilan topish.
Yangi so‘zlar
murakkab funksiya · composite functionichki funksiya · inner functiontashqi funksiya · outer functionzanjir qoidasi · chain rule
Tushuntirish

y = f(g(x)) ko‘rinishdagi funksiya murakkab funksiya deyiladi: avval x bo‘yicha g(x) hisoblanadi (ichki funksiya), so‘ng f unga qo‘llanadi (tashqi funksiya). Uning hosilasi (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) formula bilan topiladi: tashqi funksiyaning hosilasi ichki funksiya qiymatida olinib, ichki funksiyaning hosilasiga ko‘paytiriladi. Masalan, (sin(kx + b))′ = k cos(kx + b) va ((kx + b)ⁿ)′ = nk(kx + b)ⁿ⁻¹. Formulaning ma’nosi: x bir oz o‘zgarsa, g shuncha tez o‘zgaradi, g ning o‘zgarishi esa f ni o‘z tezligida o‘zgartiradi, shuning uchun tezliklar ko‘paytiriladi. Uch qavatli funksiyalarda bu qoida ketma-ket ikki marta qo‘llanadi, ko‘paytma yoki bo‘linma bilan birga kelsa, avval shu qoidalar, so‘ng zanjir qoidasi ishlatiladi.

Namunalar
y = (2x − 5)⁶: tashqi funksiya uⁿ (u = 2x − 5), ichki 2x − 5. y′ = 6(2x − 5)⁵ · 2 = 12(2x − 5)⁵. y = √(1 + x²) = (1 + x²)^(1/2): y′ = (1/2)(1 + x²)^(−1/2) · 2x = x/√(1 + x²).
y = sin(x²): y′ = cos(x²) · 2x. y = ln(2x + 3): y′ = 1/(2x + 3) · 2 = 2/(2x + 3). y = e^(−x): y′ = e^(−x) · (−1) = −e^(−x). y = cos³x = (cos x)³: y′ = 3cos²x · (−sin x) = −3cos²x sin x.
Sinfda faoliyat

«Qatlamlar»: kartochkalarda murakkab funksiyalar (sin 5x, (x² − 4)⁶, ln(x³ + 1), e^(cos x)). Har bir juftlik funksiyani «piyoz» kabi qatlamlarga ajratadi: ichki → tashqi, qatlamlar ketma-ketligini yozadi va faqat shundan keyin hosilani topadi.

Mashq
1
f(x) = (5x − 1)⁴ ning x = 1 dagi hosilasini hisoblang.
2
y = sin 3x ning hosilasini toping.
3
y = √(2x + 1) ning x = 4 dagi hosilasini toping.
4
Nima uchun murakkab funksiya hosilasida ichki funksiya hosilasiga ko‘paytirish kerak? y = (2x)² misolida tekshiring.