Darslar 23–24 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
23
Silindrning sirti va hajmi
Darslik, 1-qism: 172–183-betlar
MaqsadSilindr elementlari, kesimlari, yon va to‘la sirti hamda hajmi formulalarini o‘rganish va masalalarda qo‘llash.
To‘g‘ri doiraviy silindr to‘g‘ri to‘rtburchakni bir tomoni (o‘q) atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladi: unga parallel tomon — yasovchi (uzunligi l = h balandlikka teng), qolgan ikki tomon esa r radiusli ikkita teng asosni (doiralarni) chizadi. Silindrni o‘qiga parallel tekislik bilan kesganda to‘g‘ri to‘rtburchak chiqadi; o‘q orqali o‘tuvchi kesim — o‘q kesim, uning tomonlari 2r va h. Yoyilmasi — tomonlari 2πr va h bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak va ikkita doira, shuning uchun S_yon = 2πr · h, S_to‘la = 2πr · h + 2πr² = 2πr(h + r). Hajm V = S_asos · h = πr²h; bu formula silindrga ichki va tashqi chizilgan prizmalar hajmlari orasida limitga o‘tish bilan keltirib chiqariladi. Ichki chizilgan prizmaning asosi silindr asosiga ichki chizilgan ko‘pburchak, tashqi chizilganining asosi tashqi chizilgan. Suyuqlikka jism botirilganda ko‘tarilgan suv hajmi jism hajmiga teng: V = πr² · Δh.
Namunalar
r = 4, h = 9: S_yon = 2π · 4 · 9 = 72π, S_to‘la = 2π · 4 · (9 + 4) = 104π, V = π · 16 · 9 = 144π. Silindrning o‘q kesimi diagonali 17, asos diametri 8 bo‘lsa, balandlik h = √(289 − 64) = 15, r = 4: V = π · 16 · 15 = 240π, S_yon = 2π · 4 · 15 = 120π.
Radiusi 10 cm bo‘lgan silindrik idishga tosh botirilganda suv sathi 2 cm ko‘tarildi. Tosh hajmi V = π · 10² · 2 = 200π ≈ 628 cm³. Silindr o‘qiga parallel va undan d masofada o‘tgan kesim: r = 5, h = 6, d = 3 bo‘lsa, vatar 2√(25 − 9) = 8, kesim yuzi 8 · 6 = 48.
Sinfda faoliyat
«Suv sathi»: tiniq silindrik stakan (katta kishi nazoratida) va kichik tosh yoki metall detal oling. Stakan ichki radiusi va suv sathining ko‘tarilishini o‘lchab, V = πr²Δh formulasi bilan detal hajmini hisoblang. Natijani detalni o‘lchamlaridan hisoblangan hajm bilan solishtiring.
Mashq
1
r = 6, h = 10 bo‘lgan silindr hajmini toping.
360π
2
Asosining aylana uzunligi 14π cm, balandligi 5 cm bo‘lgan silindrning yon sirtini toping.
70π cm²
3
Silindrning yasovchisi 9, o‘q kesimining perimetri 30. Asos radiusini toping.
3
4
Nima uchun silindr to‘la sirti 2πr(h + r) ga teng?
Yon sirt yoyilganda tomonlari 2πr (asos aylanasi) va h bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘ladi, yuzi 2πrh. Ikkita asos doirasi har biri πr², jami 2πr². Yig‘indi 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r).