Darslar 16 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
16
Fazoda dekart koordinatalari sistemasi
Darslik, 1-qism: 113–121-betlar
MaqsadFazoda to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasini, nuqta koordinatalarini, ikki nuqta orasidagi masofa, kesma o‘rtasi va kesmani berilgan nisbatda bo‘luvchi nuqta koordinatalari formulalarini hamda sfera va shar tenglamalarini o‘rganish.
Yangi so‘zlar
koordinata tekisliklari · coordinate planesapplikata · z-coordinate (applicate)oktant · octantsfera tenglamasi · equation of a sphere
Tushuntirish
Fazoda O nuqtada kesishuvchi uchta o‘zaro perpendikular Ox, Oy, Oz o‘qlari olinadi; ular Oxy, Oyz, Oxz koordinata tekisliklarini aniqlaydi va fazoni 8 ta oktantga bo‘ladi. Har bir A nuqta uch son — abssissa x, ordinata y va applikata z bilan beriladi: A(x; y; z). Oz o‘qidagi nuqtalar (0; 0; c) ko‘rinishda, Oxy tekislikdagilar (x; y; 0) ko‘rinishda bo‘ladi. A(x₁; y₁; z₁) va B(x₂; y₂; z₂) orasidagi masofa AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) (Pifagor teoremasining ikki marta qo‘llanishi). AB kesma o‘rtasi ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2) nuqtadir; kesmani AP : PB = λ nisbatda bo‘luvchi P nuqtaning koordinatalari (x₁ + λx₂)/(1 + λ), (y₁ + λy₂)/(1 + λ), (z₁ + λz₂)/(1 + λ). Markazi (a; b; c) nuqtada, radiusi R bo‘lgan sfera tenglamasi (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R², shar esa (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² ≤ R² tengsizlik bilan beriladi. A(x; y; z) nuqtadan Oxy tekislikkacha masofa |z|, Ox o‘qigacha √(y² + z²).
Namunalar
A(1; −2; 3) va B(4; 2; 15): AB = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Kesma o‘rtasi M((1 + 4)/2; (−2 + 2)/2; (3 + 15)/2) = (2,5; 0; 9). AP : PB = 1 : 2 (λ = 1/2) bo‘lgan P nuqta: x = (1 + 2)/(1,5) = 2, y = (−2 + 1)/1,5 = −2/3, z = (3 + 7,5)/1,5 = 7.
Markazi (2; −1; 0), radiusi 4 bo‘lgan sfera: (x − 2)² + (y + 1)² + z² = 16. (2; −1; 4) nuqta sferada yotadi: 0 + 0 + 16 = 16. (3; 1; 1) nuqta uchun 1 + 4 + 1 = 6 < 16, demak, u sharning ichida.
Sinfda faoliyat
«Xona koordinatalari»: sinf xonasining bir burchagini koordinata boshi, devor va polning kesishgan uch chizig‘ini o‘qlar deb oling. Rulet (kattalar yordamida) bilan stol, chiroq va eshik tutqichi koordinatalarini metrda o‘lchang, ikki ob’ekt orasidagi masofani formula bilan hisoblab, rulet bilan o‘lchangan masofaga solishtiring.
Mashq
1
(0; 0; 0) va (2; 3; 6) nuqtalar orasidagi masofani toping.