Darslar 1 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
MaqsadO‘zgaruvchi miqdorlar orttirmalarining nisbatini (o‘rtacha o‘zgarish tezligini) hisoblash, uni kesuvchining burchak koeffitsiyenti sifatida tushunish va urinmani kesuvchining limit holati sifatida tasavvur qilish.
Argument a dan a + h gacha o‘zgarganda funksiya orttirmasi f(a + h) − f(a) ga teng, argument orttirmasi esa h. Bu ikki orttirmaning nisbati (f(a + h) − f(a))/h ayirmali nisbat deyiladi va f ning [a; a + h] oraliqdagi o‘rtacha o‘zgarish tezligini bildiradi. Geometrik jihatdan u grafikning (a; f(a)) va (a + h; f(a + h)) nuqtalaridan o‘tuvchi kesuvchining burchak koeffitsiyentiga teng. Chiziqli y = kx + b funksiyada bu nisbat har qanday oraliqda bir xil, ya’ni k ga teng; chiziqli bo‘lmagan funksiyada esa oraliqqa qarab o‘zgaradi. Ikkinchi nuqta grafik bo‘ylab birinchisiga yaqinlashtirilsa (h kichrayib borsa), kesuvchi biror chegaraviy vaziyatga intiladi; shu vaziyatdagi to‘g‘ri chiziq grafikning (a; f(a)) nuqtasidagi urinmasi deb qaraladi. Demak, urinmaning burchak koeffitsiyenti — ayirmali nisbatlar intiladigan son.
Namunalar
s(t) = 3t² + 2 (m) qonuniyat bilan harakatlanayotgan nuqtaning [1; 3] sekunddagi o‘rtacha tezligi: s(3) = 29, s(1) = 5, (29 − 5)/(3 − 1) = 12 m/s. [1; 1 + h] oraliqda: (3(1 + h)² + 2 − 5)/h = (6h + 3h²)/h = 6 + 3h. h = 0,1 da 6,3; h = 0,01 da 6,03; h kichrayganda nisbat 6 ga yaqinlashadi.
f(x) = 2x − 5 uchun [0; 4] da (3 − (−5))/4 = 2, [10; 11] da (17 − 15)/1 = 2: nisbat doim 2. f(x) = x³ uchun esa [0; 2] da (8 − 0)/2 = 4, [1; 2] da (8 − 1)/1 = 7: nisbat oraliqqa bog‘liq.
Sinfda faoliyat
«Kesuvchidan urinmagacha»: doskada y = x² parabolasini chizing va A(1; 1) nuqtani belgilang. Har bir o‘quvchi o‘zi tanlagan B nuqtani (masalan x = 3, 2, 1,5, 1,1) olib, AB kesuvchining burchak koeffitsiyentini hisoblaydi. Natijalarni jadvalga yozib, ular qaysi songa yaqinlashayotganini birgalikda aniqlang.
Mashq
1
f(x) = x² − 4x funksiyaning a = 3 nuqtada, h = 0,5 bo‘lgandagi orttirmasi f(a + h) − f(a) ni toping.
f(x) = x² + x ning [1; 4] oraliqdagi o‘rtacha o‘zgarish tezligini toping.
6
4
Nima uchun chiziqli funksiyada kesuvchining burchak koeffitsiyenti oraliqqa bog‘liq emas, parabolada esa bog‘liq?
Chiziqli funksiyaning grafigi to‘g‘ri chiziq, uning ixtiyoriy ikki nuqtasidan o‘tuvchi kesuvchi shu chiziqning o‘zi bo‘ladi. Parabola esa egilgan, shuning uchun turli nuqtalar juftligidan o‘tuvchi kesuvchilar turlicha qiyalikka ega.