☰ Mundarija · Matematika

Integral tatbiqlari va taqribiy integrallash

Darslar 25–26 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
25

Aniq integralning tatbiqlari

Darslik, 2-qism: 3–9-betlar
MaqsadAniq integral yordamida egri chiziqlar orasidagi yuzani, aylanish jismlari hajmini va o‘zgaruvchan kuch ishini hisoblashni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
ikki chiziq orasidagi yuza · area between curvesaylanish jismi · solid of revolutiono‘zgaruvchan kuch · variable forcebajarilgan ish · work done
Tushuntirish

Agar [a; b] kesmada f₂(x) ≥ f₁(x) bo‘lsa, y = f₁(x), y = f₂(x) grafiklari va x = a, x = b to‘g‘ri chiziqlar orasidagi shakl yuzi S = ∫ₐᵇ (f₂(x) − f₁(x)) dx bo‘ladi: yuqoridagi chiziq ostidagi yuzadan pastdagisi ostidagi yuzani ayiramiz. Integrallash chegaralari — chiziqlarning kesishish nuqtalari abssissalari, ularni f₁(x) = f₂(x) tenglamadan topamiz. Egri chiziqli trapetsiyani Ox o‘qi atrofida aylantirsak, hosil bo‘lgan jism hajmi V = π ∫ₐᵇ f²(x) dx: yupqa doira-disklar hajmi πf²(x)dx ni yig‘amiz. Oy o‘qi atrofida aylantirganda V = 2π ∫ₐᵇ x·f(x) dx (a ≥ 0). Fizikada kuch F(x) bo‘lib, jism x = a dan x = b gacha ko‘chsa, bajarilgan ish A = ∫ₐᵇ F(x) dx; masalan, Guk qonuniga ko‘ra prujina uchun F = kx. Doimiy kuchda bu formula oddiy A = F · s ga aylanadi.

ƒFormula
S = ∫ₐᵇ (f₂(x) − f₁(x)) dx
Yuqori egri chiziq ostidagi yuzdan pastkisini ayiramiz.
Namunalar
xy1231234560y = x²y = 2xS = 4/3
y = x² va y = 2x chiziqlar orasidagi yuza. x² = 2x dan x = 0 va x = 2; [0; 2] da 2x ≥ x². S = ∫₀² (2x − x²) dx = (x² − x³/3) |₀² = 4 − 8/3 = 4/3.
xy12345−2−1120y = √xV = 8π
y = √x chizig‘ining [0; 4] kesmadagi bo‘lagi Ox atrofida aylantirildi: V = π ∫₀⁴ x dx = π · x²/2 |₀⁴ = 8π. Prujinani k = 200 N/m bilan 0,3 m ga cho‘zishda bajarilgan ish: A = ∫₀^0,3 200x dx = 100x² |₀^0,3 = 100 · 0,09 = 9 J.
Sinfda faoliyat

«Qog‘ozda yuza»: katakli qog‘ozga y = x² va y = x + 2 chizing, orasidagi shaklni chizib, kataklarni sanab yuzasini taxminan toping. So‘ng integral bilan hisoblab, natijalarni solishtiring.

Mashq
1
y = x + 2 va y = x² chiziqlar orasidagi yuzani toping.
2
y = x chizig‘ining [0; 3] kesmadagi bo‘lagini Ox atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jism hajmini toping.
3
Prujinaga F = 100x (N) kuch ta’sir qiladi. Uni 0 dan 0,2 m gacha cho‘zishda bajarilgan ishni toping.
4
Nima uchun yuzani ∫(f₂ − f₁)dx deb hisoblaymiz, f₂ + f₁ deb emas?