☰ Mundarija · Matematika

O‘rta qiymat, moda, mediana va chetlanish

Darslar 31 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
31

O‘rta qiymat, moda va mediana. Chetlanish, standart chetlanish

Darslik, 2-qism: 45–56-betlar
MaqsadO‘rta qiymat, moda, mediana, o‘zgarish kengligi va standart chetlanishni hisoblash va qatorlarni shu kattaliklar bilan taqqoslashni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
o‘rta qiymat · meanmoda · modemediana · medianstandart chetlanish · standard deviation
Tushuntirish

O‘rta qiymat x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n; chastotali jadvalda x̄ = (n₁x₁ + … + nₖxₖ)/n. Moda — eng ko‘p uchraydigan variant (modalar bir nechta bo‘lishi mumkin). Mediana — variatsion qatorning o‘rtasidagi qiymat: n toq bo‘lsa (n + 1)/2-had, juft bo‘lsa n/2- va (n/2 + 1)-hadlarning o‘rta arifmetigi. Yakka katta qiymat o‘rta qiymatni sezilarli o‘zgartiradi, medianaga esa deyarli ta’sir qilmaydi. O‘zgarish kengligi — eng katta va eng kichik variantalar ayirmasi. Ma’lumotlar o‘rtacha atrofida qanchalik tarqoqligini standart chetlanish ko‘rsatadi: sₙ = √(Σ(xᵢ − x̄)²/n), chastotali qatorda √(Σnᵢ(xᵢ − x̄)²/Σnᵢ). Hamma qiymat teng bo‘lsa, sₙ = 0; tarqoqlik qancha katta bo‘lsa, sₙ shuncha katta. Oraliqlarga guruhlangan ma’lumotlar uchun o‘rta qiymat taqriban, har bir oraliqning o‘rtasi bilan hisoblanadi.

KattalikQoida
o‘rta qiymatx̄ = (x₁ + … + xₙ)/n
modaeng ko‘p uchragan qiymat
medianao‘rtadagi qiymat
yoyilishmax − min
Namunalar
Ma’lumotlar: 6, 8, 5, 9, 7, 8, 5, 8 (n = 8). Yig‘indi 56, x̄ = 7. Moda 8. Tartiblasak 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9; mediana (7 + 8)/2 = 7,5. Kenglik 9 − 5 = 4. Chetlanishlar kvadratlari: 1, 1, 4, 4, 0, 1, 4, 1, yig‘indi 16, sₙ = √(16/8) = √2 ≈ 1,41.
024682484212345nᵢchastota
Jadval: xᵢ = 1, 2, 3, 4, 5; nᵢ = 2, 4, 8, 4, 2 (n = 20). x̄ = (2 + 8 + 24 + 16 + 10)/20 = 60/20 = 3. 10- va 11-hadlar ikkalasi 3, demak mediana 3, moda ham 3. Σnᵢ(xᵢ − 3)² = 2 · 4 + 4 · 1 + 0 + 4 · 1 + 2 · 4 = 24, sₙ = √(24/20) = √1,2 ≈ 1,10.
Sinfda faoliyat

«Mening ballarim»: bu choraklik matematikadan baholaringizni (yoki 10 ta qisqa test natijasini) yozing. O‘rta qiymat, moda, mediana va kenglikni toping, so‘ng chetlanishlar kvadratlari jadvali bilan standart chetlanishni hisoblang. Qaysi kattalik natijalaringizni eng yaxshi tavsiflaydi?

Mashq
1
4, 7, 10, 3, 6 sonlarining o‘rta qiymatini toping.
2
12, 7, 9, 15, 8, 10 qatorining medianasini toping.
3
3, 5, 7, 5 qatorining standart chetlanishini toping.
4
Kichik firmada oylik maoshlar 5, 6, 5, 7 va 30 (mln so‘m). Qaysi biri — o‘rta qiymat yoki mediana — odatdagi maoshni yaxshiroq ifodalaydi?