☰ Mundarija · Matematika

Hosilani hisoblash qoidalari

Darslar 4 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
4

Hosilani hisoblash qoidalari

Darslik, 1-qism: 24–29-betlar
MaqsadHosilani hisoblash qoidalarini (yig‘indi, ayirma, o‘zgarmas ko‘paytuvchi, ko‘paytma, bo‘linma) va hosilalar jadvalini qo‘llashni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
hosilalar jadvali · table of derivativesko‘paytmaning hosilasi · product rulebo‘linmaning hosilasi · quotient ruleo‘zgarmas ko‘paytuvchi · constant factor
Tushuntirish

Jadval: (c)′ = 0, (kx + b)′ = k, (xᵖ)′ = p·xᵖ⁻¹, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x, (ctg x)′ = −1/sin²x, (aˣ)′ = aˣ ln a, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (logₐ x)′ = 1/(x ln a). Qoidalar (f va g hosilaga ega bo‘lsa): (f ± g)′ = f′ ± g′; (c·f)′ = c·f′; (f·g)′ = f′g + fg′; (f/g)′ = (f′g − fg′)/g², bunda g ≠ 0. Eslab qolish kerakki, ko‘paytmaning hosilasi hosilalar ko‘paytmasi emas: f = g = x bo‘lsa (x²)′ = 2x, f′g′ esa 1 ga teng. Ildizlar va kasrlarni darajaga o‘tkazib differensiallash qulay: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³. Murakkab ifodada avvalo oxirgi bajariladigan amalga (yig‘indi, ko‘paytma, bo‘linma) qarab, mos qoidani tanlang.

Namunalar
f(x) = 5x⁴ − 3x² + 7x − 2 + 6√x. Qoidalar bo‘yicha: f′(x) = 20x³ − 6x + 7 + 3/√x, chunki (√x)′ = 1/(2√x), 6 · 1/(2√x) = 3/√x. f′(1) = 20 − 6 + 7 + 3 = 24.
y = (x² + 1) sin x: ko‘paytma qoidasi bilan y′ = 2x sin x + (x² + 1) cos x. y = x/(x² + 1): bo‘linma qoidasi bilan y′ = ((x² + 1) − x · 2x)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)². y = x² ln x: y′ = 2x ln x + x² · 1/x = 2x ln x + x.
Sinfda faoliyat

«Qoidani top»: o‘qituvchi kartochkalarga 8 ta funksiya yozadi (x³ − 4x, x² cos x, (x + 2)/x, e^x ln x va h.k.). Guruhlar har kartochka uchun avval qaysi qoida kerakligini («yig‘indi», «ko‘paytma», «bo‘linma») aytadi, so‘ng hosilani topadi. Boshqa guruh javobni tekshiradi.

Mashq
1
f(x) = 7x³ − 4x + 9 uchun f′(2) ni hisoblang.
2
y = x² eˣ ning hosilasini toping.
3
y = (2x + 1)/(x − 3) ning x = 4 dagi hosilasini toping.
4
Nima uchun (x · x)′ = x′ · x′ deyish xato? Misol bilan tushuntiring.