☰ Mundarija · Matematika

Qarama-qarshi hodisalar, qo‘shish va ko‘paytirish

Darslar 34–35 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
34

Qarama-qarshi hodisalar. Hodisalar ustida amallar va Eyler–Venn diagrammalari

Darslik, 2-qism: 78–82-betlar
MaqsadHodisalar ustida amallarni (yig‘indi, ko‘paytma, ayirma), qarama-qarshi hodisalarni Eyler–Venn diagrammalarida ifodalash va P(Ā) = 1 − P(A) dan foydalanishni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
qarama-qarshi hodisa · complementary eventbirgalikda bo‘lmagan · mutually exclusiveEyler–Venn diagrammasi · Euler–Venn diagramelementar hodisa · elementary event
Tushuntirish

Elementar hodisalar to‘plami U ni doira ichidagi to‘plam sifatida chizsak, har bir hodisa uning qismi bo‘ladi (Eyler–Venn diagrammasi). A va B ning ko‘paytmasi AB = A ∩ B — ikkalasi birga ro‘y berishi; yig‘indisi A + B = A ∪ B — hech bo‘lmaganda bittasi ro‘y berishi; ayirmasi A − B — A ro‘y beradi-yu, B ro‘y bermaydi. A ro‘y bermaslik hodisasi Ā qarama-qarshi hodisa deyiladi: A + Ā = U va AĀ = V. AB = V bo‘lsa, A va B birgalikda emas (bir vaqtda ro‘y bermaydi). Ehtimollik uchun: P(A) ≥ 0, P(U) = 1, birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun P(A + B) = P(A) + P(B). Bundan P(Ā) = 1 − P(A) kelib chiqadi; «hech bo‘lmaganda bitta» hodisasining ehtimolligini topishda «birortasi ham yo‘q» ni hisoblab, 1 dan ayirish qulay. Umumiy holda P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Namunalar
Kub tashlanadi: A = {juft son} = {2, 4, 6}, B = {3 dan katta} = {4, 5, 6}. AB = {4, 6}, A + B = {2, 4, 5, 6}, A − B = {2}, Ā = {1, 3, 5}, P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2. Tanga 4 marta tashlanganda kamida bir marta gerb chiqishi: 1 − P(hech qachon) = 1 − (1/2)⁴ = 15/16.
30 o‘quvchidan 18 nafari futbol (F), 12 nafari shaxmat (C) bilan shug‘ullanadi, 5 nafari ikkalasi bilan. Diagrammada: faqat futbol 13, faqat shaxmat 7, ikkalasi 5, hech biri 30 − 25 = 5. P(F ∪ C) = (18 + 12 − 5)/30 = 25/30 = 5/6; P(hech biri) = 1 − 5/6 = 1/6.
Sinfda faoliyat

«Doiralar»: ikkita kesishuvchi doira chizing va sinfdoshlaringizdan so‘rang: kim velosipedda (V), kim piyoda (P) maktabga keladi (ayrimlari ikkalasi bilan). Sonlarni diagrammaga yozing va P(V ∪ P), P(faqat V), P(hech biri) ni toping.

Mashq
1
P(A) = 0,35 bo‘lsa, P(Ā) ni toping.
2
Kub tashlanganda A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}. P(A ∪ B) ni toping.
3
Tanga 4 marta tashlandi. Kamida bir marta raqam tomoni chiqish ehtimolligi?
4
Nima uchun birgalikda bo‘lmagan hodisalar har doim qarama-qarshi emas?