Darslar 8 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
8
Hosila yordamida funksiyani tekshirish va grafiklarni yasash
Darslik, 1-qism: 42–49-betlar
MaqsadFunksiyaning o‘sish-kamayish oraliqlari, statsionar nuqtalari, lokal ekstremumlari va kesmadagi eng katta/eng kichik qiymatlarini hosila yordamida topish hamda grafigini yasash.
Yangi so‘zlar
statsionar nuqta · stationary pointlokal maksimum / minimum · local maximum / minimumekstremum · extremumeng katta / eng kichik qiymat · greatest / least value
Tushuntirish
(a; b) da f′(x) > 0 bo‘lsa, f shu oraliqda o‘sadi; f′(x) < 0 bo‘lsa, kamayadi. Hosilasi nolga teng nuqtalar statsionar nuqtalar deyiladi. Agar statsionar nuqtadan o‘tishda f′ ning ishorasi «+» dan «−» ga o‘zgarsa, bu lokal maksimum nuqtasi, «−» dan «+» ga o‘zgarsa lokal minimum nuqtasi; ishora o‘zgarmasa, ekstremum yo‘q (masalan, f(x) = x³ ning x = 0 dagi statsionar nuqtasi). Kesmada uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish uchun kesma ichidagi statsionar nuqtalardagi va kesma uchlaridagi qiymatlar hisoblanib, eng kattasi va eng kichigi tanlanadi. Grafikni yasash tartibi: aniqlanish sohasi, statsionar nuqtalar, o‘sish va kamayish oraliqlari, ekstremumlar va ulardagi qiymatlar, o‘qlar bilan kesishish nuqtalari, so‘ng chizma.
Namunalar
f(x) = x³ + 3x² − 9x − 5. f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3(x + 3)(x − 1). f′ > 0: (−∞; −3) va (1; +∞) — o‘sadi; f′ < 0: (−3; 1) — kamayadi. x = −3 da «+» dan «−» ga: lokal maksimum f(−3) = 22. x = 1 da «−» dan «+» ga: lokal minimum f(1) = −10. Grafik Oy o‘qini (0; −5) da kesadi.
f(x) = 2x³ − 9x² + 12x ning [0; 3] dagi eng katta va eng kichik qiymatlari. f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2); statsionar nuqtalar 1 va 2 kesmada. f(0) = 0, f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 9. Eng katta qiymat 9 (x = 3 da), eng kichigi 0 (x = 0 da).
Sinfda faoliyat
«Hosila grafikdan»: o‘qituvchi f′(x) ning grafigini chizadi (x o‘qini kesish nuqtalari va ishoralari ko‘rsatilgan). Guruhlar f ning o‘sish-kamayish oraliqlarini, lokal maksimum va minimum nuqtalarini aniqlab, f ning taxminiy grafigini eskiz qiladi va boshqa guruhlarnikiga solishtiradi.
Mashq
1
f(x) = x³ − 12x ning statsionar nuqtalarini toping.