Aniq integral va Nyuton–Leybnis formulasi

[a; b] kesmada f(x) ≥ 0 bo‘lsa, yuqoridan y = f(x) grafigi, quyidan Ox o‘qi, yon tomonlardan x = a va x = b to‘g‘ri chiziqlari bilan chegaralangan shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Uning yuzi S(x) ni qarasak, S′(x) = f(x), ya’ni S — f ning boshlang‘ich funksiyasi, shu sababli yuz F(b) − F(a) ga teng, bunda F — f ning ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi. Bu son f ning [a; b] dagi aniq integrali deyiladi: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) (Nyuton–Leybnis formulasi), qisqa yozuvi F(x)|ₐᵇ. Aniq integral integral yig‘indilar f(ξₖ)Δxₖ ning chegarasi ham bo‘ladi: kesmani juda mayda bo‘laklarga bo‘lib, to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzlarini qo‘shamiz. Xossalar: ∫ₐᵃ f dx = 0; ∫ₐᵇ f dx = −∫_b^a f dx; ∫ₐᶜ f dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫_b^c f dx; f juft bo‘lsa, ∫₋ₐᵃ f dx = 2∫₀ᵃ f dx; f ≥ 0 bo‘lsa, integral ≥ 0; f ≤ g bo‘lsa, ∫f dx ≤ ∫g dx. Aniq integral son, aniqmas integral esa funksiyalar to‘plami; f ning ishorasi o‘zgarsa, integral «ishorali yuz» beradi (masalan, ∫₀^π cos x dx = 0).