☰ Mundarija · Matematika

Silindr va bobni takrorlash

Darslar 23–24 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
24

Bobni takrorlashga doir amaliy mashqlar (prizma va silindr)

Darslik, 1-qism: 184–187-betlar
MaqsadPrizma va silindr bobi bo‘yicha ichki va tashqi chizilgan shakllar, sirt va hajm masalalarini takrorlash.
Yangi so‘zlar
tashqi chizilgan silindr · circumscribed cylinderichki chizilgan silindr · inscribed cylindertengdosh jism · equivalent solidyoyilma · net
Tushuntirish

Bobning asosiy formulalari: prizma V = S_asos · h, S_yon = P · h (to‘g‘ri), S_to‘la = S_yon + 2S_asos; to‘g‘ri burchakli parallelepiped d² = a² + b² + c², V = abc; silindr S_yon = 2πrh, S_to‘la = 2πr(r + h), V = πr²h. Prizma silindrga tashqi chizilgan bo‘lsa, silindr asosi prizma asosiga ichki chizilgan aylana bo‘ladi (radius — ichki chizilgan aylana radiusi); prizma silindrga ichki chizilgan bo‘lsa, asosi silindr asosiga ichki chizilgan ko‘pburchak va silindr radiusi unga tashqi chizilgan aylana radiusiga teng. Masalan, to‘g‘ri burchakli uchburchakda tashqi aylana radiusi gipotenuzaning yarmiga teng. Murakkab shakl masalalarida uni oddiy qismlarga bo‘ling: hajm qismlar yig‘indisi, yoki katta jismdan o‘yib olingan qismni ayiring. Birliklarni (cm, dm, m va litr) bir xil qilishni unutmang. Natijani tekshiring: radius yoki yon qirra manfiy yoki kvadrat tenglamadan noo‘rin chiqmasin.

Namunalar
To‘g‘ri prizmaning asosi katetlari 5 va 12 bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak (gipotenuza 13), balandligi 4. Unga ichki chizilgan silindr: r = (5 + 12 − 13)/2 = 2 (to‘g‘ri burchakli uchburchakka ichki chizilgan aylana radiusi), V = π · 4 · 4 = 16π. Silindr (r = 3, h = 7) ga tashqi chizilgan muntazam to‘rtburchakli prizma: asos tomoni 2r = 6, S_yon = 4 · 6 · 7 = 168.
Kubdan (qirrasi 10) markazi bo‘ylab asosi tomoni 2 bo‘lgan kvadrat teshik ochildi (qarama-qarshi yoqlarni tutashtiruvchi). Qolgan hajm 1000 − 4 · 10 = 960. Muntazam to‘rtburchakli prizma (asos tomoni 4, balandligi 9) ga tashqi chizilgan silindr: R = 2√2 (asos diagonalining yarmi), V = π · 8 · 9 = 72π.
Sinfda faoliyat

«Qopqoq va quti»: o‘quvchilar silindr shaklidagi bankani (konserva banka, tozalangan) va unga mos kvadrat asosli qutini olib, qutining ichki o‘lchamlari va banka radiusi orasidagi bog‘lanishni topadi; banka hajmi quti hajmining necha foizini egallashini hisoblaydi (πr²h : (2r)²h = π/4 ≈ 78,5 %).

Mashq
1
Muntazam oltiburchakli prizmaning asos tomoni 4, balandligi 10. Unga tashqi chizilgan silindr hajmini toping.
2
Qirrasi 2 bo‘lgan kubga tashqi chizilgan silindr (asoslari kubning ikki qarama-qarshi yog‘iga tashqi chizilgan) hajmini toping.
3
Qirrasi 8 bo‘lgan kubdan qarama-qarshi yoqlar orasida, asosi tomoni 3 bo‘lgan kvadrat teshik o‘yildi. Qolgan jism hajmini toping.
4
Silindr o‘ziga tashqi chizilgan kvadrat asosli prizmaning hajmining necha foizini egallaydi? Sababini tushuntiring.