☰ Mundarija · Matematika

Chiziqli va kvadratik modellar

Darslar 27 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
27

Chiziqli va kvadratik modellar

Darslik, 2-qism: 12–22-betlar
MaqsadChiziqli va kvadratik funksiyalar yordamida real vaziyatlarni modellashtirish: qiymat hisoblash, parabola uchi, o‘qlar bilan kesishish nuqtalari va formulani grafikdan tiklash.
Yangi so‘zlar
burchak koeffitsiyenti · slopeparabola uchi · vertex of a parabolasimmetriya o‘qi · axis of symmetrykvadrat funksiya · quadratic function
Tushuntirish

f(x) = ax + b chiziqli funksiya, grafigi to‘g‘ri chiziq, a — burchak koeffitsiyenti; masalan, xizmat haqi = qo‘zg‘almas to‘lov + soat narxi · vaqt kabi bog‘lanishlar chiziqlidir. y = ax² + bx + c (a ≠ 0) kvadrat funksiya, grafigi parabola. U ordinatalar o‘qini (0; c) nuqtada kesadi; abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtalari ax² + bx + c = 0 tenglamaning ildizlaridir. Parabolaning simmetriya o‘qi x = −b/(2a), uchi shu o‘qda yotadi: uning ordinatasini topish uchun x = −b/(2a) ni formulaga qo‘yamiz. a > 0 bo‘lsa, parabola tarmoqlari yuqoriga qaraydi va uchida eng kichik qiymat, a < 0 bo‘lsa, pastga qaraydi va uchida eng katta qiymat bo‘ladi. Ildizlari x₁, x₂ ma’lum bo‘lsa, formula y = a(x − x₁)(x − x₂) ko‘rinishda yoziladi; a ni parabolaning boshqa bir nuqtasidan topamiz.

Namunalar
Devor yonida 60 m to‘r bilan to‘g‘ri to‘rtburchak maydon o‘raladi (to‘rtinchi tomoni devor). Devorga perpendikular tomon x bo‘lsa, yuz S(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x. a = −2 < 0, uchi x = −60/(2 · (−2)) = 15 da: S(15) = 15 · 30 = 450 m² — eng katta yuz. S(x) = 0 bo‘ladigan x = 0 va x = 30 — parabola Ox o‘qini kesadigan nuqtalar.
Parabola Ox o‘qini x = −1 va x = 5 da kesadi, eng kichik qiymati −18. U y = a(x + 1)(x − 5) ko‘rinishda; simmetriya o‘qi x = (−1 + 5)/2 = 2, uchida y(2) = a · 3 · (−3) = −9a = −18, a = 2. Demak y = 2(x + 1)(x − 5) = 2x² − 8x − 10.
Sinfda faoliyat

Mobil tarif jadvalini tuzing: oylik to‘lov C(g) = 8000g + 40 000 so‘m (g — qo‘shimcha GB soni). g = 0, 1, 2, 3, 4 uchun qiymatlarni hisoblang, nuqtalarni koordinata tekisligiga qo‘ying va ularning bitta to‘g‘ri chiziqda yotishini tekshiring.

Mashq
1
Parabola y = ax² + bx + c ning simmetriya o‘qi tenglamasini yozing.
2
y = x² − 6x + 5 funksiyaning eng kichik qiymatini toping.
3
Telefon batareyasi 100% dan boshlab har soatda 8% kamayadi: B(t) = 100 − 8t. Necha soatdan keyin 36% qoladi?
4
Nima uchun a > 0 bo‘lganda parabola uchida eng kichik qiymat bo‘ladi?