Darslar 49–50 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
49
Uch perpendikularlar haqidagi teorema
Darslik, 2-qism: 128–131-betlar
MaqsadUch perpendikularlar haqidagi teorema va unga teskari teoremani, to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni bilish va masalalarda qo‘llash.
Yangi so‘zlar
uch perpendikularlar teoremasi · theorem of three perpendicularsproyeksiya · projectionto‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak · angle between a line and a planeteskari teorema · converse theorem
Tushuntirish
AB kesma α tekislikka perpendikular, AC — og‘ma, BC — uning proyeksiyasi bo‘lsin. Uch perpendikularlar teoremasi: α tekislikda og‘maning asosi C dan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq c proyeksiya BC ga perpendikular bo‘lsa, u og‘ma AC ga ham perpendikular. Teskari teorema: c og‘maga perpendikular bo‘lsa, proyeksiyaga ham perpendikular. Nomi shundan: AB ⊥ α, c ⊥ BC va c ⊥ AC — uch perpendikular. Teorema ko‘pincha nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha masofani topishda ishlatiladi: D nuqtadan tekislikka DA perpendikular tushirib, A dan tekislikdagi l chizig‘iga AO ⊥ l o‘tkazamiz; u holda DO ⊥ l va DO² = DA² + AO². To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak — chiziq bilan uning tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchak; perpendikular bo‘lsa 90°, parallel bo‘lsa 0° deb olinadi.
Namunalar
ABC uchburchakda AB = AC = 10, BC = 12. A dan BC ga balandlik AO asosni teng ikkiga bo‘ladi: AO = √(10² − 6²) = 8. DA ⊥ (ABC), DA = 6. Uch perpendikularlar teoremasiga ko‘ra DO ⊥ BC; DO = √(6² + 8²) = 10 — D dan BC gacha masofa.
Kubda AB₁ diagonal ABCD tekisligi bilan qanday burchak hosil qiladi? B₁B ⊥ ABCD, proyeksiya AB. B₁BA — teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchak (BB₁ = AB), shuning uchun burchak 45°.
Sinfda faoliyat
Ustun yoki tayoqning tikligini shoqul bilan tekshiring (ip uchiga yuk bog‘lang, yuk past va xavfsiz bo‘lsin): ipni tayoqqa yaqin tutib, ikki turli joydan qarang. Natijani bir tekislikda yotmagan ikki yo‘nalishdan tekshirish nima uchun kerakligini muhokama qiling.
Mashq
1
Uch perpendikularlar haqidagi teoremani ayting.
Tekislikdagi chiziq og‘maning proyeksiyasiga perpendikular bo‘lsa, og‘maning o‘ziga ham perpendikular.
2
DA ⊥ (ABC), DA = 8, A dan BC gacha balandlik AO = 6. D dan BC gacha masofa nechaga teng?
10
3
Kubda AB₁ va ABCD tekislik orasidagi burchak necha gradus?
45°
4
Nima uchun tekislikka perpendikular chiziq bilan tekislik orasidagi burchak 90° deb olinadi?
Perpendikularning proyeksiyasi nuqta, shuning uchun ta’rif ma’nosini yo‘qotadi; tekislikdagi har qanday chiziq bilan 90° burchak hosil qilgani uchun 90° deb kelishilgan.