☰ Mundarija · Matematika

Ko‘rsatkichli tenglamalar

Darslar 12 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
12

Sodda ko‘rsatkichli tenglamalar va ularning sistemalari

Darslik, 1-qism: 69–73-betlar
MaqsadKo‘rsatkichli tenglamalarni bir xil asosga keltirish, yangi o‘zgaruvchi kiritish va umumiy ko‘paytuvchini chiqarish usullari bilan yechish; oddiy ko‘rsatkichli sistemalarni yechish.
Yangi so‘zlar
ko‘rsatkichli tenglama · exponential equationdaraja asosi · base of a powerdaraja ko‘rsatkichi · exponentyangi o‘zgaruvchi · new variable
Tushuntirish

Noma’lum daraja ko‘rsatkichida qatnashgan tenglama ko‘rsatkichli tenglama deyiladi. Asosiy fakt: a > 0, a ≠ 1 bo‘lsa, a^f(x) = a^g(x) tenglama f(x) = g(x) ga tengkuchli. Birinchi usulda ikkala tomon bir xil asosga keltiriladi, buning uchun aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1 va a⁻ⁿ = 1/aⁿ xossalari qo‘llanadi. Ikkinchi usulda t = aˣ (t > 0) almashtirish kvadrat yoki boshqa algebraik tenglamaga olib keladi; aˣ har doim musbat bo‘lgani uchun t ≤ 0 ildizlar tashlanadi. Uchinchi usulda umumiy ko‘paytuvchi qavsdan tashqariga chiqariladi yoki tenglama bitta darajaga bo‘linadi. Ko‘rsatkichli tenglamalar sistemasida avval ko‘rsatkichlar uchun chiziqli sistema tuziladi yoki u = aˣ, v = bʸ kabi yangi o‘zgaruvchilar kiritiladi.

Namunalar
4^(x+1) = 8^(x−1): 4 = 2², 8 = 2³, shuning uchun 2^(2x+2) = 2^(3x−3). Ko‘rsatkichlarni tenglaymiz: 2x + 2 = 3x − 3 ⇒ x = 5. Tekshiruv: 4⁶ = 4096 va 8⁴ = 4096.
9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0. 9ˣ = (3ˣ)² bo‘lgani uchun t = 3ˣ > 0 desak, t² − 4t + 3 = 0, t = 1 yoki t = 3. 3ˣ = 1 ⇒ x = 0; 3ˣ = 3 ⇒ x = 1. Javob: x = 0 va x = 1.
Sinfda faoliyat

«Asos topish» musobaqasi: o‘qituvchi 16, 32, 64, 1/8, 0,25 kabi sonlarni beradi; guruhlar ularning hammasini 2 ning darajasi sifatida eng tez yozadi (2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁻³, 2⁻²). Keyin shu sonlardan ko‘rsatkichli tenglamalar tuziladi.

Mashq
1
a > 0, a ≠ 1 bo‘lganda a^f(x) = a^g(x) tenglama qaysi tenglamaga tengkuchli?
2
2^(x+3) = 32 ni yeching: x = ?
3
3^(2x) − 10 · 3ˣ + 9 = 0 ni yeching.
4
4ˣ + 3 · 2ˣ − 4 = 0 da t = 2ˣ desak t² + 3t − 4 = 0 chiqadi. Nima uchun t = −4 ildizni tashlaymiz? x ni toping.