☰ Mundarija · Matematika

Sirtlarni hisoblash masalalari

Darslar 21 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
21

Amaliy mashq va tatbiqlar: ko‘pyoqlar va aylanish jismlari

Darslik, 1-qism: 119–125-betlar
MaqsadTo‘g‘ri prizma, muntazam piramida, silindr va konusning sirtlarini hisoblash masalalarini yechish: balandlik, apofema va yasovchi orasidagi bog‘lanishlardan foydalanish.
Yangi so‘zlar
yon sirt · lateral surfaceto‘la sirt · total surfaceapofema · apothemyasovchi · generator
Tushuntirish

To‘g‘ri prizmaning yon yoqlari to‘g‘ri to‘rtburchaklar bo‘lgani uchun uning yon sirti asosining perimetri bilan yon qirrasining ko‘paytmasiga teng: S_yon = P · h; to‘la sirt S_to‘la = S_yon + 2S_asos. Muntazam piramidada balandlik h asos markazi O ga tushadi; O dan asos uchigacha masofa tashqi chizilgan aylana radiusi R, O dan asos tomoni o‘rtasigacha masofa ichki chizilgan aylana radiusi r. Yon qirra √(h² + R²) ga, apofema esa √(h² + r²) ga teng (ikkalasi ham to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi). Yon sirt S_yon = p · a (p — asos yarim perimetri), to‘la sirt esa unga asos yuzini qo‘shib topiladi. Kvadrat uchun r = a/2, R = a√2/2; muntazam uchburchak uchun r = a√3/6, R = a√3/3; muntazam oltiburchak uchun R = a, r = a√3/2. Silindr yon sirti — asos aylanasi uzunligi bilan yasovchi ko‘paytmasi; konusda yasovchi l = √(h² + r²) va S_yon = πrl. Yasovchi asos bilan α burchak tashkil qilsa, r = l cos α.

Namunalar
Muntazam to‘rtburchakli piramida: asos tomoni 10 sm, balandligi 12 sm. r = 5 sm, apofema = √(12² + 5²) = 13 sm. Yon sirt = p · a = 20 · 13 = 260 sm² (p = 40/2 = 20), to‘la sirt = 260 + 100 = 360 sm².
To‘g‘ri prizmaning asosi — asoslari 4 sm va 10 sm, yon tomonlari 5 sm bo‘lgan teng yonli trapetsiya, yon qirrasi 6 sm. Trapetsiya balandligi √(5² − 3²) = 4 sm, perimetri 4 + 10 + 5 + 5 = 24 sm. Yon sirt 24 · 6 = 144 sm², asos yuzi (4 + 10)/2 · 4 = 28 sm², to‘la sirt 144 + 2 · 28 = 200 sm².
Sinfda faoliyat

Guruhlar bo‘sh qutini (masalan, taxta ko‘rinishidagi karton quti) o‘lchab, uning to‘la sirtini hisoblaydi, so‘ng uni yoyib (kattalar qaychi bilan yordam beradi) haqiqiy yoyilma yuzini o‘lchov bilan solishtiradi.

Mashq
1
To‘g‘ri prizmaning yon sirti formulasi qanday?
2
To‘g‘ri prizmaning asosi tomonlari 6, 8, 10 sm bo‘lgan uchburchak, yon qirrasi 5 sm. To‘la sirti necha sm²?
3
Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 16 sm, balandligi 15 sm. Yon sirti necha sm²? (apofema 17 sm)
4
Nima uchun apofema √(h² + r²), yon qirra esa √(h² + R²) ga teng?