☰ Mundarija · Matematika

Ko‘rsatkichli va logarifmik modellar

Darslar 37 · 1 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Haydarov (geometriya). Matematika 10-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. MChJ «EXTREMUM PRESS», Toshkent, 2017
37

Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar yordamida modellashtirish

Darslik, 2-qism: 62–74-betlar
MaqsadKo‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar yordamida o‘sish, so‘nish, murakkab foiz va magnituda kabi jarayonlarni modellashtirish.
Yangi so‘zlar
eksponensial o‘sish · exponential growthyarim yemirilish davri · half-lifemurakkab foiz · compound interestmagnituda · magnitude
Tushuntirish

y = a · bᵗ ko‘rinishdagi bog‘lanish ko‘rsatkichli model deyiladi: a — boshlang‘ich qiymat (t = 0 da y = a), b — o‘zgarish ko‘paytuvchisi. b > 1 bo‘lsa, kattalik o‘sadi (eksponensial o‘sish), 0 < b < 1 bo‘lsa, kamayadi (so‘nish). Har yili p % ortish ko‘paytuvchisi b = 1 + p/100 ga teng, p % kamayish uchun b = 1 − p/100; x yildan so‘ng y = a · bˣ bo‘ladi. Agar modda massasi har T davrda yarimga kamaysa (T — yarim yemirilish davri), m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T). Logarifmik model teskari masalalarda: kattalik k marta o‘zgarishi uchun kerak vaqt x = log_b k. Zilzila magnitudasi R = lg I (I — intensivlik): magnituda 1 ga oshsa, intensivlik 10 marta, 2 ga oshsa 100 marta ortadi. Modelning ishlash oralig‘ini unutmaslik kerak: tabiatda hech narsa cheksiz ortmaydi.

Namunalar
Omonat 2 000 000 so‘m, yillik 10 %, har yili foiz qo‘shiladi. 2 yildan so‘ng: 2 000 000 · 1,1² = 2 000 000 · 1,21 = 2 420 000 so‘m. Ko‘paytuvchi 1,1, har yili oldingi summaga ko‘paytiriladi.
Ikki zilzila: 7 va 5 magnitudali. I₁ = 10⁷, I₂ = 10⁵. I₁ / I₂ = 10⁷ / 10⁵ = 10² = 100: birinchisining intensivligi 100 marta katta.
Sinfda faoliyat

Qog‘oz varag‘ini ketma-ket ikkiga buking (har bukishda qatlamlar soni ikki baravar ko‘payadi); qatlamlar sonini 1, 2, 3, … bukishdan keyin jadvalga yozing va 2ⁿ bilan solishtiring. Qaychi ishlatmang.

Mashq
1
y = a · bᵗ da b > 1 va 0 < b < 1 hollar nimani anglatadi?
2
500 ta bakteriya har soatda ikki barobar ko‘payadi. 4 soatdan so‘ng nechta?
3
Modda yarim yemirilish davri 6 soat, boshlang‘ich massasi 96 mg. 18 soatdan so‘ng necha mg qoladi?
4
Nima uchun yillik 10 % o‘sish har yili 1,1 ga ko‘paytirish bilan hisoblanadi?